ルベーグ測度の正則性、等測包

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A13

μ:Pow()→[0、∞] を外測度とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) μ(A)=inf{ μ(G)|A⊂G、G は開集合 }

補足

むろん、μ(A)=inf{ μ(G)|A⊂G、G は開集合 } と表しても意味は同じである。

証明

は開集合であり、A⊂G である。

よって、右辺は空ではない。

A⊂G とすると、μ(A)≦μ(G) である。(※外測度の単調性)

よって、μ(A)≦inf{ μ(G)|A⊂G、G は開集合 } である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

μ(A)=∞ の場合、(★1)の逆向きの不等式が成り立つことは明らかである。

μ(A)<∞ の場合について考える。

ε>0 とおく。

いま、ある半開区間の列 (I) が存在して、次を満たす。(※定義:外測度)

(*1) A⊂∪1≦n≦∞

(*2) 1≦n≦∞|I|<μ(A)+ε

=[a、b) とおく。

=(a−ε/2、b) とおく。

G=∪1≦n≦∞ とおく。

いま、G は開集合である。

また、A⊂G である。

また、μ(G)≦1≦n≦∞μ(J)=1≦n≦∞|I|+ε である。

よって、(*2)より、μ(G)<μ(A)+2ε である。

つまり、inf{ μ(G)|A⊂G、G は開集合 }≦μ(A) である。(★2)

(★1)、(★2)より、定理が示された。

A14 ( ルベーグ測度の正則性 )

A⊂ を集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は可測である。

(2) 任意の ε>0 に対し、ある開集合 U ( ただし A⊂U ) が存在して、μ(U−A)<εとなる。

(3) 任意の ε>0 に対し、ある閉集合 F⊂A が存在して、μ(A−F)<εとなる。

(4) ある Gδ集合 G ( ただし A⊂G ) が存在して、μ(G−A)=0 となる。

(5) ある Fσ集合 F⊂A が存在して、μ(A−F)=0 となる。

補足

(1)⇒(2)⇒(4)⇒(1)を示せば十分である。

実際、残りは補集合を考えることで示される。

(1)⇒(2)の証明

まず、μ(A)<∞ の場合について考える。

いま、ある 開集合 U ( ただし A⊂U ) が存在して、μ(U)<μ(A)+ε となる。(※A13)

よって、μ(U−A)=μ(U)−μ(A)<ε である。(※A11)(★)

次に、μ(A)=∞ の場合について考える。

=A∩[−n、n] とおく。

いま、μ(A)<∞ である。

よって、(★)より、ある開集合 U が存在して、μ(U−A)=μ(U)−μ(A)<ε/2 となる。

ここで、U=∪1≦n≦∞ とおく。

いま、μ(U−A)=μ(∪1≦n≦∞(U−A))≦1≦n≦∞μ(U−A)<εである。

むろん、μ(U−A)<εである。

( この証明において A11 を使用できるのは仮定(1)による )

(2)⇒(4)の証明

いま、ある 開集合 U が存在して、μ(U−A)<1/n となる。

G=∩1≦n≦∞ とおく。

いま、G は Gδ集合である。

また、μ(G−A)≦μ(U−A)<1/n である。

よって、μ(G−A)=0 である。

(4)⇒(1)の証明

いま、ある Gδ集合 G ( ただし A⊂G ) が存在して、μ(G−A)=0 である。

よって、G−A は可測である。(※A8)

いま、G は可測である。(※A7)

よって、A=G−(G−A) は可測である。(※A6)

A15 ( 等測包 )

μ:Pow()→[0、∞] を外測度とする。

μ:(μ)→[0、∞] を測度とする。

A を の部分集合とする。

このとき、ある A(μ)が存在して、次を満たす。

(1) A⊂A

(2) μ(A)=μ(A

(3) A=∩1≦n≦∞ ( G は開集合 ) と表せる。

このとき、A を 『 等測包 』 という。

補足

つまり、A は Gδ集合である。

補足

=G∩・・・∩G とおく。

いま、∩1≦n≦∞=∩1≦n≦∞ であり、Hn+1⊂H である。

よって、最初から Gn+1⊂G と仮定してよい。

証明

まず、μ(A)<∞ の場合について考える。

いま、任意の n∈ に対し、ある開集合 G が存在して、次を満たす。(※A13)

(*1) A⊂G

(*2) μ(A)≦μ(G)<μ(A)+1/n

ここで、A=∩1≦n≦∞ とおく。

いま、A は可測である。

また、任意の n に対し、μ(A)≦μ(A)<μ(A)+1/n である。

よって、A⊂A であり、μ(A)=μ(A) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、μ(A)=∞ の場合について考える。

いま、A は A の等測包である。

また、G とおけば、A=∩1≦n≦∞ と表せる。