ルベーグ積分論の初等論と抽象論は本質的に同じ

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参考

ルベーグ積分の構成法は主に次の2通りである。

(*1) 最初からユークリッド空間上でルベーグ積分を構成する。

(*2) 一般の集合上でルベーグ積分を構成する。

ただし、これらの議論は本質的に同じである。

これについて確認しておこう。

以下、(*1) を 『 初等論 』 と呼び、(*2) を 『 抽象論 』 と呼ぶことにする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

初等論では可測集合全体 (μ) 上で測度を構成する。

抽象論ではσ加法族 上で測度を定義する。

そして、(μ) はσ加法族である。

つまり、測度の定義域を (μ) と表すか と表すかの違いでしかない。(重要)

よって、初等論と抽象論は本質的に同じである。

例えば、初等論では次の基本的な定理がある。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

c を実数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) { f≦c } は可測集合である。( つまり、{ f≦c }∈(μ)である )

(2) { f≧c } は可測集合である。( つまり、{ f≧c }∈(μ)である )

(3) { f<c } は可測集合である。( つまり、{ f<c }∈(μ)である )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

これを抽象論で表すと、次のようになる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

c を実数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) { f≦c }∈

(2) { f≧c }∈

(3) { f<c }∈

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

このように、(μ) を に置き換えるだけでよい。

その他の定理もそのまま成り立つ。

結局、初等論で得られた結果は、そのまま抽象論にも適用できる。

むろん、抽象論が無意味であるということではない。

例えば、最初からユークリッド空間で議論する場合、内容はルベーグ測度に限定される。

しかし、ルベーグ測度以外にも重要な測度は存在するのだ。

実際、確率論ではルベーグ測度以外の測度も重要になる。

なので、とくに確率論を目的とする場合、抽象論が必要となる。

むろん、確率論を目的とする本では抽象論から測度論を出発することになる。