単調収束定理を用いるための道具

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B21 ( 単調収束定理を使用するための道具 )

f:E→ を可測関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) ある単関数列 φ が存在して、f(x)=limn→∞φ(x) となる。

(2) とくに、f(x) が下に有界ならば、φ≦φ≦・・・となるようにできる。

(3) とくに、f(x) が上下に有界ならば、0≦f(x)−φ(x)<1/2 となるようにできる。

補足

とくに、(3)は(φ)が f に一様収束することを意味する。

補足

この定理は 『 単調収束定理 』 とセットで用いられることが多い。

(1)の証明

次のように定義する。



図示すると、



つまり、 明らかに、φ は単関数である。

x∈E が|f(x)|<n を満たすならば、|φ(x)−f(x)|<1/2 である。

よって、limn→∞φ(x)=f(x) である。

(2)の証明

f(x)≧L であるとする。

いま、φ は n≧|L|で単調増加である。

番号は、n≧|L|から取り直せばよい。

(3)の証明

(2)より明らかである。