単調収束定理の前身〜その1

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B22 ( 単調収束定理の前身〜その1 )

:E→[0、∞] を非負値可積分関数列とする。

次が成り立つとする。

(*1) f↑f

(*2) ある定数 M が存在して、任意の n に対して ∫(x)dx<M である。

このとき、次が成り立つ。

(1) f は可積分である。

(2) limn→∞(x)dx=∫f(x)dx

補足

つまり、limn→∞(x)dx=∫limn→∞(x)dx である。

証明

φ:E→[0、∞) を、0≦φ≦f on E を満たす可積分単関数とする。

φの値で、≠0 となるものを { c、・・・、c } とおく。

=φ−1(c) とおく。

A=∪1≦k≦m とおく。

いま、φは可積分である。

よって、μ(A)=1≦k≦mμ(A)<∞ である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ε>0 とおく。

0<η<1 とおく。

={ x∈A|f(x)≧ηφ(x) } とおく。

いま、S は可測集合である。

また、S↑A である。

つまり、A∩S↑A ( n→∞ ) である。

よって、μ(A)=limn→∞μ(A∩S) である。(※A12)

いま、ある自然数 N が存在して、次を満たす。

(*) n≧N ⇒ μ(A∩S)>(1−(ηc−1ε)μ(A

N=max{ N、・・・、N } とおく。

いま、n>N に対し、



よって、



η→1、ε→0 とすると、M≧limn→∞≧∫φ である。

上式右辺の上限をとると、∫f≦M である。

つまり、f は可積分である。

また、∫f≦limn→∞ である。

一方、明らかに、∫f≧limn→∞ である。