ベッセルの不等式(有限ver)

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定義 ( 正射影 )

V を K 上の内積空間とする。

E={ e、・・・、e } を V の正規直交系とする。

v∈V とおく。

1≦i≦N(v、e)e とおく。

このとき、v を 『 v の ( span(E)上への ) 正射影 』 という。

明らかに、次の(*1)、(*2)が成り立つ。

(*1) v∈span(E)

(*2) 任意の k∈{1、・・・、N}に対し、(v−v、e)=0 である。

図示すると、

(*2)について実際に計算すると、

B6 ( ベッセルの不等式:有限ver )

V を K 上の内積空間とする。

E={ e、・・・、e } を V の正規直交系とする。

このとき、任意の v∈V に対して次が成り立つ。



また、v が E の1次結合で表される場合のみ、等号が成り立つ。

補足

上の定理において、E は正規直交基底ではなくて正規直交系であることに注意。

つまり、V は無限次元でもよい。

ただし、いま考えている E は有限個の元から構成される正規直交系であることに注意。

後で、無限個の元から構成される正規直交系に関するベッセルの不等式も登場する。

証明

1≦i≦N(v、e)e とおく。( つまり、v は span(E)上への v の正射影である )

明らかに、任意の i∈{1、・・・、N}に対して (v−v、e)=0 である。(※定義(正射影)の補足)

また、v=(v−v)+v である。

よって、|| v ||=|| v−v ||+|| v || である。(※A12:ピタゴラスの定理)

一方、|| 1≦i≦N(v、e)e ||1≦i≦N|(v、e)| である。(★)

よって、



よって、定理が示された。

(★)について補足

これは普通に内積の計算によって分かる。

念のため、もう少し詳しく計算過程を書くと、

B7 ( 無限次元内積空間における成分は 0 に収束する )

V を K 上の内積空間とする。

{ en∈ を V の正規直交系とする。

このとき、任意の v∈V に対し、1≦i≦∞|(v、e)| は収束する。

補足

つまり、limn→∞(v、e)=0 である。

証明

1≦i≦n|(v、e)| とおく。

いま、(cn∈ は単調増加数列である。

また、任意の n∈ に対して c≦|| v || である。(※B6:ベッセルの不等式)

よって、(cn∈ は有界な数列である。

よって、極限 limn→∞ は存在する。(※実数の連続性)

つまり、1≦i≦∞|(v、e)| は収束する。