有限次元部分空間は閉集合

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定義 ( 双1次汎関数 )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

(・、・):V×W→K を関数とする。

(x、y)は x と y に関して線形であるとする。

このとき、(・、・)を 『 双1次汎関数 』 という。

定義 ( 双対性 )

(・、・):V×W→K を双1次汎関数とする。

任意の x∈V ( ただし x≠0 ) に対し、ある y∈W が存在して(x、y)≠0 となるとする。

任意の y∈W ( ただし y≠0 ) に対し、ある x∈V が存在して(x、y)≠0 となるとする。

このとき、「 V と W は(・、・)に関して双対である 」 という。

F3

(・、・):V×W→K を双1次汎関数とする。

V と W は(・、・)に関して双対であるとする。

、・・・、x∈V を1次独立な元とする。

このとき、1次独立な元 y、・・・、y∈W が存在して、次を満たす。

証明

n=1の場合、定理が成り立つことは明らかである。

n−1の場合について定理が成り立つと仮定する。

いま、z、・・・、zn−1∈W が存在して、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

y∈W とおく。

(x、y)=0 ( i=1、・・・、n−1 ) ならば (x、y)=0 であるとする。(背理法)(★)

=y−1≦k≦n−1(x、y)z とおく。

いま、i=1、・・・、n−1 に対して次が成り立つ。

(*) (x、y)=(x、y)−1≦k≦n−1(x、y)(x、z)=(x、y)−(x、y)=0

よって、(★)より、(x、y)=0 である。

よって、

(*) (x、y)=1≦k≦n−1(x、y)(x、z)=(1≦k≦n−1(x、z)x、y)

よって、x1≦k≦n−1(x、z)x である。(※定義:双対性)

これは x、・・・、x が1次独立であることに矛盾する。

つまり、(★)は否定された。

よって、ある z∈W が存在して、(x、z)=0 ( i=1、・・・、n−1 ) かつ (x、z)=1 となる。

そこで、y=z−(x、z)z ( k=1、・・・、n−1 )、y=z とおく。

いま、

F4 ( ノルム空間の双対空間は自明でない元をもつ )

V をノルム空間とする。

このとき、V≠{0}である。

とくに、任意の x∈V に対し、ある f∈V が存在して f(x)≠0 となる。

証明

既に示した。(※E31の補足)

参考 ( E4の特殊な場合 )

V を内積空間とする。

このとき、V≠{0}である。

とくに、V の元として有界な関数が存在する。

証明

v∈V とおく。

:H→ を F(w)=(v、w)で定義する。

内積の線形性より、F は線形である。

また、F(x)≦||v||||x|| である。(※A5)

よって、F は有界である。

よって、F∈V である。

また、v≠0 ならば F≠0 である。

定義

V をノルム空間とする。

f∈V とおく。

このとき、f(x)を(x、f)と表す。

F5

V をノルム空間とする。

を V の双対空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (x、y) ( x∈V、y∈V ) は V×V 上の双1次汎関数である。

(2) V と V は(x、y)に関して双対である。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

x∈V ( x≠0 ) とおく。

いま、ある y∈V が存在して、(x、y)≠0 となる。(※F4)

y∈V ( y≠0 ) とおく。

明らかに、ある x∈V が存在して、(x、y)≠0 となる。

F6

V を K 上の N 次元ノルム空間とする。

{ e、・・・、e } を V の基底となる。

(xn∈⊂V を点列とする。

x∈V とおく。

いま、x=c(n)+・・・+c(n) ( c∈K ) と表せる。

また、x=c+・・・+c ( c∈K ) と表せる。

このとき、次は同値である。

(1) (xn∈ は V におけるコーシー列である。

(2) (c(n)n∈ は K におけるコーシー列である。

また、次は同値である。

(3) limn→∞=x

(4) limn→∞(n)=c ( k=1、・・・、N )

(1)⇔(2)の証明

いま、ある x’、・・・、x’∈V が存在して、次を満たす。(※F5)



よって、(x、x’)=1≦i≦N(n)(e、x’)=c(n) である。( k=1、・・・、N )

よって、(xn∈ がコーシー列ならば次が成り立つ。

(*) |c(m)−c(n)|=|(x−x、x’)|≦|| x−x |||| x’ ||→0 ( m、n→∞ )

よって、(c(n)n∈ はコーシー列である。

一方、(c(n)n∈ がコーシー列ならば、

(*) || x−x ||=|| 1≦k≦N(c(m)−c(n))e ||≦1≦k≦N|c(m)−c(n)||| e ||→0 ( m、n→∞ )

よって、(xn∈ はコーシー列である。

(3)⇔(4)の証明

(1)⇔(2)と同様である。

F7

有限次元ノルム空間はバナッハ空間である。

証明

V を N 次元ノルム空間とする。

{ e、・・・、e } を V の基底とする。

(xn∈ を V のコーシー列とする。

いま、x=c(n)+・・・+c(n) と表せる。

また、(c(n)n∈ は K のコーシー列である。(※F6)

また、K は完備である。

よって、limn→∞(n) は存在する。

そこで、limn→∞(n)=c とおく。

さらに、x=c+・・・+c とおく。

いま、limn→∞=x である。(※F6)

よって、V は完備である。

つまり、V はバナッハ空間である。

F8

ノルム空間の有限次元部分空間は閉集合である。

証明

V をノルム空間とする。

W を V の有限次元部分空間とする。

v∈V を W の集積点とする。

いま、ある点列 (xn∈⊂W が存在して、limn→∞=x となる。

いま、(xn∈ は W のコーシー列である。

よって、(xn∈ はある点 x∈W に収束する。(※F7)

よって、x=x∈W である。

よって、W は閉集合である。

参考 ( F8の特殊な場合 )

内積空間の有限次元部分空間は閉集合である。

証明

V を内積空間とする。

D を V の有限次元部分空間とする。

{ e、・・・、e } を D の基底とする。

v∈D とおく。

いま、v=1≦i≦N(v、e)e と表せる。(※A12)

(vn∈⊂D を点列とする。

→v ( n→∞ ) であるとする。

いま、v1≦i≦N(v、e)e と表せる。(※A12)

また、(v、e)→(v、e) ( n→∞ ) である。(※A8:内積の連続性)

よって、v1≦i≦N(v、e)e ( n→∞ ) である。

よって、v=1≦i≦N(v、e)e である。

よって、v∈D である。

よって、D は閉集合である。(※距離空間論)