半加法族、ジョルダン測度

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定義 ( ジョルダン測度 )

Θ を X の部分集合族とする。

m:Θ→[0、∞] を関数とする。

次が成り立つとする。

(1) m(φ)=0

(2) IΘ (1≦k≦n) は互いに素 ⇒ m(1≦k≦n)=1≦k≦nm(I

このとき、m を 『 ジョルダン測度 』 という。

以前に注意したように、I、・・・、I が互いに素であるとき、∪1≦k≦n1≦k≦n と表してよい。

とくに、条件(2)を 『 有限加法性 』 という。

ジョルダン測度を 『 有限加法的測度 』 と呼ぶ書物もある。

定義 ( 分割 )

Δ を X の部分集合族とする。

次が成り立つとする。

(1) 「 I、J∈Δ かつ I≠J 」 ⇒ I∩J=φ

(2) UI∈ΔI=X

このとき、Δ を 『 X の分割 』 という。

とくに、ΔΘ に属する集合で構成されているとき、Δ を 『 Θ 分割 』 という。

Δ が空集合の場合は ∪I∈ΔI=φと規約する。

定義 ( 半加法族 )

Θ を X の部分集合族とする。

次が成り立つとする。

(1) φ∈Θ

(2) A、B∈Θ ⇒ A∩B∈Θ

(3) A、B∈Θ、B⊂A ⇒ A−B の有限 Θ 分割が存在する。

このとき、Θ を 『 X 上の半加法族 』 という。

条件(3)の代わりに、次の条件を書く本もある。

(*) A∈Θ ⇒ A の有限 Θ 分割が存在する。

明らかに、(*)と(2)から、(3)が得られる。

(3)において A−B は Θ に属するとは限らない。

例えば、半開区間 [a、b) 全体は半加法族である。( ただし、空集合も半開区間として認める )

さらに、半開区間 [a、b) に、その長さ|b−a|を対応させると、これはジョルダン測度である。

参考

以下、ジョルダン測度の性質を示していく。

これらの証明はパズルのようでおもしろい。

Z7

Θ を半加法族とする。

A、B、・・・、BΘ とおく。

A−∪1≦k≦n≠φであるとする。

このとき、A−∪1≦k≦n の有限 Θ 分割が存在する。

証明

明らかに、n=1の場合について定理が成り立つ。(※定義:半加法族)

n∈ とおく。

n−1 の場合について定理が成り立つとする。

A、B、・・・、BΘ とおく。

A−∪1≦k≦n≠φとする。

いま、A−∪1≦k≦n−1 の有限 Θ 分割 Δ が存在する。(※帰納法の仮定)

Δ={ I∈Δ|I−B≠φ}とおく。

いま、任意の I∈Δ に対し、I∩BΘ かつ I∩B は I の真部分集合 である。

また、I−(I∩B)の有限 Θ 分割 Δ(I)が存在する。(※定義:半加法族)

いま、UI∈ΔΔ(I)は A−∪1≦k≦n の有限 Θ 分割である。

Z8 ( 単調性、有限被覆単調性 )

m:Θ→[0、∞] をジョルダン測度とする。

Θ は半加法族であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 「 A∈Θ、I、・・・、IΘ1≦k≦n⊂A 」 ⇒ 1≦k≦nm(I)≦m(A)

(2) 「 A∈Θ、C、・・・、CΘ、A⊂∪1≦k≦n 」 ⇒ m(A)≦1≦k≦nm(C

(3) 「 A、B∈Θ かつ B⊂A 」 ⇒ m(B)≦m(A)

補足

このサイトでは(2)を 『 有限被覆単調性 』 と呼ぶことにする。

半加法族は和集合について閉じていないので、被覆の単調性は自明ではないことに注意。

(1)の証明

A−1≦k≦n=φの場合について考える。

いま、A=1≦k≦n である。

よって、m(A)=1≦k≦nm(I)である。(※定義:ジョルダン測度)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A−1≦k≦n≠φの場合について考える。

いま、A−1≦k≦n の有限 Θ 分割 Δ が存在する。(※Z7)

Δ={ In+1、・・・、I } とおく。

いま、I、・・・、IΘ は互いに素である。

また、A=1≦k≦m である。

よって、1≦k≦nm(I)≦1≦k≦mm(I)=m(A)である。(※定義:ジョルダン測度)

(2)の証明

=(A∩C)−∪1≦i≦k−1 とおく。

いま、B の有限 Θ 分割 Δ(k) が存在する。(※Z7)

また、(1)より、I∈Δ(k)m(I)≦m(C)である。(★1)

Δ1≦k≦nΔ(k)とおく。

いま、B、・・・、B は互いに素である。

また、A=1≦k≦n である。

よって、Δ は A の有限 Θ 分割である。

よって、m(A)=I∈Δm(I)である。(★2)

(★1)、(★2)より、m(A)≦1≦k≦nm(C)である。

(3)の証明

(1)より明らかである。

参考

上ではジョルダン測度の単調性を示した。

一方、既に示したように、測度も単調性をもつ。

その証明を復習してみよう。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、A⊂B とする。

いま、μ(B)=μ(A+(B−A))=μ(A)+μ(B−A) である。

よって、μ(B)≧μ(A) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ところで、この証明をジョルダン測度の単調性に流用できないだろうか?

残念ながら、できない。

それはなぜであろうか?

これは簡単な問題なので、余裕がある人は考えると理解が深まってよいかもしれない。

Z9 ( 半加法族の和集合は分割できる )

m:Θ→[0、∞] をジョルダン測度とする。

Θ は半加法族であるとする。

Θ ( n∈ ) とおく。

このとき、互いに素な列 IΘ が存在して、次を満たす。

(1) ∪1≦n≦∞1≦k≦∞

(2) =∪1≦n≦∞{ k∈|I⊂C

とくに、(1)と(2)が成り立つと、自動的に次が成り立つ。

(3) 1≦k≦∞m(I)≦1≦n≦∞m(C

(1)の証明

=C−∪1≦k≦n−1 とおく。

いま、B の有限 Θ 分割 Δ が存在する。(※Z7)

また、B は互いに素である。

Δ1≦n≦∞Δ とおく。

いま、Δ は ∪1≦n≦∞1≦n≦∞ の可算 Θ 分割である。

そこで、Δ の要素を並べて I とする。

Δ は有限である場合は、I=φとして延長すればよい )

いま、I は互いに素である。

また、∪1≦n≦∞1≦k≦∞ である。

(2)の証明

既に、(1)の証明中で示されている。

(3)の証明

n∈ とおく。

いま、任意の p∈ に対し、k≦p:I⊂Cm(I)≦m(C)である。(※Z8)

よって、k:I⊂Cm(I)≦m(C)である。

よって、1≦k≦∞m(I)≦1≦n≦∞k:I⊂Cm(I)≦1≦n≦∞m(C)である。