有限次元ノルム空間に対する同値条件

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F9

V をノルム空間とする。

F を V の閉部分空間とする。

V≠F であるとする。

このとき、任意のε>0 に対し、ある x∈V が存在して次を満たす。

(1) || x ||=1

(2) d(x、F)=infy∈F|| x−y ||≧1−ε

証明

x∈V ( ただし x は F に属さない ) とおく。

以下、d(x、F)を d と表す。

いま、F は閉集合である。

よって、d>0 である。

0<ε<1とおく。

いま、ある y∈F が存在して、d≦|| x−y ||<d/(1−ε)となる。

=|| x−y ||−1(x−y) とおく。

いま、|| x ||=1 である。

また、任意の y∈F に対し、|| x−y ||=|| x−y ||−1|| x−(y+|| x−y ||y )|| である。

いま、y+|| x−y ||y∈F である。

よって、|| x−y ||≧|| x−y ||−1d>1−εである。

よって、d≧1−εである。

F10 ( 有限次元ノルム空間に対する同値条件 )

V をノルム空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) V は有限次元である。

(2) V における任意の有界集合はコンパクトである。

証明

(1)を仮定する。

{ e、・・・、e } を V の基底とする。

x∈V とおく。

いま、x=c+・・・+c と表せる。

φ:V→K をφ(x)=(c、・・・、c)で定義する。

いま、φは同相写像である。(※F6)

において任意の有界集合は点列コンパクトである。(※ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

V は有限次元でないと仮定する。(背理法)

E={ x、x、・・・ } を V の可算な1次独立な集合とする。

=span(x、・・・、x)とおく。

いま、F<F<・・・である。

また、各 F は閉部分空間である。(※F8)

=x とおく。

|| y ||=1 と仮定しても一般性を失わない。

いま、ある y∈F が存在して、次を満たす。(※F9)

(*1) || y ||=1

(*2) d(y、F)≧1/2

同様に、ある y∈F が存在して、次を満たす。

(*3) || y ||=1

(*4) d(y、Fn−1)≧1/2

よって、B={ y、y、・・・ } は有界だが、点列コンパクトではない。