有界関数に対してよくある誤解

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定義 ( 有界関数 )

f:A→ を関数とする。

ある定数 M が存在して、任意の x∈A に対し、f(x)≦M となるとする。

このとき、「 f は有界である 」 という。

次はいずれも同じ意味である。

(*1) ある定数 M が存在して、任意の x∈A に対して f(x)≦M である。

(*2) ある定数 M が存在して、A 上 で f≦M である。

(*3) ある定数 M が存在して、f≦M on A である。

定義 ( 有限関数 )

終域が である関数を 『 有限関数 』 という。

有限値関数と呼ぶこともある。

むろん、有界関数と有限関数は別である。

しかし、これらが混同されることは多いであろう。

参考

f:[0、∞)→ を f(x)=1/x で定義する。

このとき、次が成り立つ。

(1) f は有界ではない。

(2) f は有限関数である。

(3) f は値として広義実数 ∞ をとらない。

(1)の証明

実際、f は x=0 に近くでいくらでも大きな値をとる。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

既に述べたように、f は x=0 の近くでいくらでも大きな値をとる。

しかし、それらは有限値であって、広義実数 ∞ ではない。

参考

:A→ を関数列とする。

ある点 x∈A に対し、limn→∞(x)=∞ であるとする。

それ以外の点では f は有限値に収束するとする。

f(x)=limn→∞(x) と定義する。

このとき、f は値として広義実数 ∞ をとる。

証明

明らかである。

正確に言えば、値が発散する点で、広義実数 ∞ を対応させるということである。

実際、値が発散している点での値は定義不能となってしまう。

よって、その点に対して広義実数の ∞ を対応させることは自然である。