有理数の稠密性、開集合の構造定理

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S8 ( p進法展開 )

p を自然数とする。

このとき、任意の点 x∈[0、1) は次の形で表せる。

(*) x=1≦n≦∞/p ( 0≦x≦p−1 )

補足

よって、x=0.x・・・ と表すことができる。

これを 『 p進法展開 』 という。

むろん、p=10 の場合、これはよく知られている10進法展開である。

その他、p=2 の場合、つまり、2進法展開が有用である。

補足

つまり、次が成り立つ。

(1)  において稠密である。( つまり、任意の実数のいくらでも近くに有理数が存在する )

(2) 任意の実数 x に対し、ある有理数列 (r) が存在して、limn→∞=x となる。

証明

まず、[0、1) を p 等分する。

いま、ある x∈{0、・・・、p−1} が存在して、x/p≦x<(x+1)/p となる。

次に、[x/p、(x+1)/p) を p 等分する。

いま、ある x∈{0、・・・、p−1} が存在して、x/p+x/p≦x<x/p+(x+1)/p となる。

以上の操作を繰り返す。

すると、任意の n∈ に対し、ある x∈{1、・・・、p−1}が存在して次のように表せる。

(*) x/p+・・・+x/p≦x<x/p+・・・+(x+1)/p

ここで、y=x/p+・・・+x/p とおく。

いま、0≦x−y<1/p である。

よって、x=limn→∞=x/p+x/p+・・・ である。

参考

上の証明から分かるように、10進法展開は実数の連続性に基づいている。

定義 ( 濃度 )

A、B を集合とする。

A と B の間に全単射が存在するとする。

このとき、「 A と B は同じ濃度をもつ 」 という。

定義 ( 可算集合 )

A を集合とする。

A と の間に全単射が存在するとする。

このとき、「 A は可算である 」 という。

定義 ( 高々可算集合 )

A を集合とする。

A は有限集合または可算集合であるとする。

このとき、「 A は高々可算である 」 という。

S9

(1)  は可算である。

(2) × は可算である。

補足

一方、実数全体は非可算である。

つまり、実数全体は有理数全体よりもさらに大きな無限集合であるといえる。

証明

これの証明は省略する。

詳しく知りたい場合は集合論を参照。

ただし、この省略によって後の理解に被害が出ることはない。

S10

a、b を実数とする。

a<b であるとする。

このとき、(a、b)=∪{(p、q)|p、q∈、a<p<q<b } と表せる。

補足

つまり、(a、b)は有理数を端点とする開区間の可算個の和集合で表される。(※S9)

証明

明らかである。(※S8)

S11 ( 開集合の構造定理〜その1 )

の開集合は、互いに素な可算個の半開区間の和集合として表せる。

補足

の半開区間とは [a、b)×・・・×[a、b) の形の集合である。

補足

「 互いに素 」 とは 「 互いに共通部分をもたない 」 という意味である。

証明

d=2 の場合について証明する。

G を開集合とする。

まず、次のようにおく。



さらに、次のようにおく。



さらに、次のようにおく。



さらに、A=∪1≦k≦∞ とおく。

いま、A は互いに素な可算個の半開区間の和集合である。(★1)

また、明らかに、A⊂G である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈G とおく。

いま、ある ε>0 が存在して、S(x、ε)⊂G となる。

k∈ を、1/2k−1<εを満たす最小の整数とする。

いま、



よって、ある m、n が存在して、



よって、A の定義より、



以上により、x∈G ⇒ x∈A である。

つまり、G⊂A である。(★3)

(★1)〜(★3)より、定理が示された。

S12 ( 開集合の構造定理〜その2 )

の開集合は高々可算個の互いに素な開区間の和集合として表せる。

証明

G が有界な開集合である場合について示せば十分である。( G が有界でない場合も同様に証明できる )

x∈G とおく。

a=inf{ y|(y、x)⊂G } とおく。

b=sup{ z|(x、z)⊂G } とおく。

( G が有界でない場合、a=−∞ または b=∞ となる )

いま、a<x<b である。

また、G=(a、b)⊂G である。

また、∪x∈G=G である。

また、G≠G ⇒ G∩G=φ である。(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

各開区間は必ず有理数を含む。(※S8)

そこで、各開区間に対し、この有理数を対応させる。

これは の部分集合への単射である。

つまり、高々可算であることが分かる。

(★)の補足

いま、∪x∈G=G である。

=(a、b)、G=(c、d)、G∩G≠φとする。

いま、ある z∈G∩G が存在して、a<z<b となる。

また、明らかに、G=G である。

同様に、G=G である。

つまり、G=G である。

よって、G≠G ⇒ G∩G=φ である。