有界な線形作用素

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定義 ( ノルムの同値性 )

(V、||・||)、(V、||・||)をノルム空間とする。

ある定数 c、c>0 が存在して、任意の v∈V に対して c||v||≦||v||≦c||v|| となるとする。

このとき、「 ||・|| と ||・|| は同値である 」 という。

||・|| と ||・|| が同値であるという関係を ||・||〜||・|| と表す。

明らかに、||・||〜||・|| ⇒ ||・||〜||・|| である。

C1

(V、||・||)、(V、||・||)を線形ノルム空間とする。

||・|| と ||・|| は同値であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) V の点列(vn∈ が ||・|| に関してコーシー列ならば ||・|| に関してもコーシー列である。

(2) V の点列(vn∈ が ||・|| に関して収束列ならば ||・|| に関しても収束列である。

(3) (V、||・||)がバナッハ空間ならば(V、||・||)もバナッハ空間である。

(1)の証明

仮定より、|| v−v ||→0 (m、n→∞)である。

いま、ある定数 c>0 が存在して、c||・||≦||・|| となる。

よって、c|| v−v ||→0 (m、n→∞) である。

よって、|| v−v ||→0 (m、n→∞) である。

よって、(vn∈ は ||・|| に関してもコーシー列である。

(2)の証明

(1)と同様である。

(3)の証明

(vn∈ を(V、||・||)のコーシー列とする。

(1)より、(vn∈ は(V、||・||)のコーシー列でもある。

よって、(vn∈ は ||・|| に関して収束する。

よって、(2)より、(vn∈ は ||・|| に関しても収束する。

以上により、(V、||・||)は完備である。

つまり、(V、||・||)はバナッハ空間である。

定義 ( 線形作用素 )

V、W をベクトル空間とする。

A を V の部分空間とする。

このとき、線形写像 T:A→W を 『 V から W への線形作用素 』 という。

また、A を D(T)と表す。

線形代数でよく知られているように、部分空間には 0 が属する。

よって、0∈D(T)である。

注意

以下、線形作用素を単に 『 作用素 』 という。

線形作用素はこの後でずっと登場する概念である。

そのため、上記のような略称は必要である。

注意

以下、T(v) を Tv と表してよいとする。

定義 ( 作用素の有界性 )

(V、||・||)、(W、||・||)をノルム空間とする。

T を V から W への作用素とする。

ある M>0 が存在して、任意の v∈D(T)に対し、|| Tv ||≦M||v|| となるとする。

このとき、「 T は有界である 」 という。

注意

(V、||・||)、(W、||・||)をノルム空間とする。

T を V から W への作用素とする。

以下ではノルムについて ||・||、||・|| のような書き方はせず、両方とも ||・|| と表す。

これがどちらのノルムを意味するかは文脈から容易に判別できる。

C2 ( 有界性⇔連続性 )

V、W をノルム空間とする。

T を V から W への作用素とする。

このとき、次は同値である。

(1) T は有界である。

(2) T は 0 で連続である。

(3) T は D(T)上で連続である。

(1)⇒(2)の証明

(vn∈ を D(T)の点列とする。

|| v ||→0 (n→∞)とする。

いま、ある c>0 が存在して、|| Tv ||≦c|| v || である。

よって、|| Tv ||→0 である。

よって、T は 0 で連続である。

(2)⇒(3)の証明

v∈D(T)とおく。

(vn∈ を V の点列とする。

→v (n→∞)とする。

いま、v−v→0 (n→∞)である。

また、T は 0 で連続である。

よって、Tv−Tv=T(v−v)→0 (n→∞) である。

よって、Tv→Tv (n→∞)である。

よって、T は v で連続である。

(3)⇒(1)の証明

B={ w∈W:||w||<1 } とする。

いま、B は開集合であるから、T−1(B)も開集合である。(※距離空間論)

また、T(0)=0 である。(※線形代数)

よって、0∈T−1(B)である。

よって、T−1(B)は 0 の近傍である。

よって、ある r>0 が存在して、{ v∈V:||v||≦r }⊂ T−1(B)となる。

とくに、||v||=r ならば || Tv ||<1 である。

ここで、任意の v∈D(T) ( ただし v≠0 ) に対し、v=rv/||v|| とおく。

いま、|| v ||=r である。

よって、(r/|| v ||)|| T(v)||=|| Tv ||<1 である。

そこで、c=1/r とおくと、|| Tv ||<c|| v || である。

定義 ( 作用素ノルム )

V、W をノルム空間とする。

T を V から W への作用素とする。

T は有界であるとする。

つまり、ある M>0 が存在して、任意の v∈D(T)に対し、||Tv||≦M||v|| であるとする。

このとき、不等式を満たす M の下限を 『 T の作用素ノルム 』 という。

T の作用素ノルムを ||T|| と表す。

つまり、任意の v∈D(T)に対し、、||Tv||≦||T||||v|| である。

C3 ( 作用素ノルムを通常のノルムで表す )

V、W をノルム空間とする。

T を V から W への作用素とする。

T は有界であるとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

次のようにおく。



T は線形であるから、



よって、



よって、任意の v≠0 に対し、||Tv||/||v||≦c である。

よって、任意の v∈D(T)に対し、||Tv||≦c||v|| である。

よって、||T||≦c である。(※定義:作用素ノルム)

一方、(*)より、任意のε>0 に対し、ある v≠0 が存在して、c−ε<|| Tv ||/|| v || となる。

よって、(c−ε)||v||<||Tv||≦||T||||v|| である。

よって、c−ε≦||T|| である。

ε>0 は任意であるから、c≦||T|| である。

以上により、||T||=c である。

C4 ( 有限次元の線形作用素は有界 )

、V を K 上の有限次元内積空間とする。

このとき、V から V への作用素は有界である。

証明

dimV=m、dimV=n とおく。

T を V から V への作用素とする。

いま、D(T)は V の有限次元部分空間である。

そこで、D(T)を改めて V と見なし、最初から D(T)=V の場合を考えれば十分である。

{v1≦i≦m を V の正規直交系とする。(※シュミットの正規直交化)

{w1≦k≦n を V の正規直交系とする。(※シュミットの正規直交化)

u∈V とおく。

いま、u=1≦i≦m(u、v)v と表せる。(※A11)

よって、Tu=1≦i≦m(u、v)Tv である。

また、Tv∈V である。

よって、Tv1≦k≦n(Tv、w)w と表せる。(※A11)

よって、



よって、次が成り立つ。(※シュワルツの不等式)



一方、明らかに、1≦i≦m|(u、v)|=||u|| である。

よって、



よって、T は有界である。

C5 ( 作用素ノルムを正規直交系の内積で表す )

、V を K 上の有限次元内積空間とする。

T を V から V への線形作用素とする。

いま、T は有界である。(※C4)

dimV=m、dimV=n とする。

{v1≦i≦m を V の正規直交系とする。

{w1≦k≦n を V の正規直交系とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

既に示した。(※C4の証明)

C6 ( KerT は閉部分空間 )

、V をノルム空間とする。

T を V から V への作用素とする。

T は有界であるとする。

このとき、KerT は閉部分空間である。

証明

KerT は部分空間である。(※線形代数)

∈KerT(n≧1)とおく。

→v∈V(n→∞)とする。

いま、T は連続である。(※C2)

よって、Tv→Tv (n→∞)である。

一方、任意の n∈ に対し、Tv=0 である。

よって、Tv=0 である。

よって、v∈KerT である。

以上により、KerT は閉集合である。(※距離空間論)

C7 ( 稠密な定義域は拡張できる )

、X をバナッハ空間とする。

T を X から X への稠密に定義された有界作用素とする。

このとき、X から X への有界作用素 S が一意に存在して、次を満たす。

(1) D(S)=X

(2) 任意の v∈D(T)に対し、Tv=Sv である。

(3) ||T||=||S||

証明

いま、D(T)は X において稠密である。

よって、任意の x∈X に対し、ある点列 x∈D(T) が存在して、x→x (n→∞)となる。

いま、T は有界である。

よって、次が成り立つ。(※定義:作用素ノルム)



よって、Tx は X におけるコーシー列である。

よって、Tx は収束する。(※定義:バナッハ空間)

よって、ある y∈X が存在して、limn→∞Tx=y となる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( x に収束する点列に対し、極限 y が一意に定まることを示す )

ある点列 x’∈X が存在して、x’→x (n→∞)となるとする。

limn→∞Tx’=y’とおく。

いま、次が成り立つ。



よって、y=y’である。

以上で、y の一意性が示された。

そこで、S:X→X を Sx=y=limn→∞Tx で定める。

これで(1)が満たされた。

T は線形であるから、S も線形である。

T は有界であるから、||Tx||≦||T||||x|| である。(※定義:作用素ノルム)

よって、n→∞ とすると、||Sx||≦||T||||x|| である。(※B8:ノルムの連続性)

よって、S は有界である。

また、||S||≦||T|| である。(※定義:作用素ノルム)(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈D(T)とおく。

いま、x=x とおけば Sx=Tx である。

これで(2)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ε>0 とおく。

いま、ある単位ベクトル x∈D(T)が存在して、||T||−ε≦||Tx|| となる。(※C3)

一方、(2)より、||Tx||=||Sx||≦||S||||x||=||S|| である。

よって、||T||−ε≦||S|| である。

よって、||T||≦||S|| である。

よって、(★)より、||T||=||S|| である。

これで(3)が示された。

定義 ( B(V、V))

、V をノルム空間とする。

T を V から V への有界作用素とする。

このような T 全体を B(V、V)と表す。

明らかに、B(V、V)はベクトル空間である。

C8 ( B(X、X)の完備性 )

、X をバナッハ空間とする。

B(X、X)は作用素ノルムの意味で完備である。

証明

.n∈B(X、X)をコーシー列とする。

ε>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、m、n≧N ならば ||T−T||<εとなる。

x∈H とおく。

いま、m、n≧N ならば || Tx−Tx ||<ε|| x || となる。(※定義:作用素ノルム)(★1)

これは Tx が X のコーシー列であることを意味する。

よって、limn→∞x が存在する。(※定義:バナッハ空間)

T:X→X を Tx=limn→∞x で定める。

は線形であるから T も線形である。

(★1)において m→∞ とすると、||Tx−Tx||≦ε||x|| である。(★2)

よって、次が成り立つ。(※C2)



よって、T は有界である。

よって、T∈B(X、X)である。

また、(★2)より、||T−T||=sup||x||=1||Tx−Tx||≦εである。(※C3)

よって、T→T (n→∞)である。