1次従属、1次独立(3次元)

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参考

次のベクトルは1次従属である。

証明

次のような関係を考える。

(*) c+c+c=0

=2、c=1、c=−1 は関係(*)を満たす。

よって、p、p、p は1次従属である。

参考

上で示したように、次のベクトルは1次従属である。



実際、2p+p−p=0 が成り立つことが示された。

ところで、この式は、p=2p+p に変形できる。

これを図示すると、



つまり、p は、p と p によって表されるということである。

以上から分かるように、次は同値である。

(1) p、p、p は1次従属である。

(2) p、p、p のうち、任意のベクトルは残りのベクトルで表される。

(3) p、p、p は同一平面内にある。

参考

次のベクトルは1次独立である。

証明

次のような関係を考える。

(*) c+c+c=0

この関係を満たす係数は、c=0、c=0、c=0 以外に存在しない。

よって、p、p、p は1次独立である。

参考

上で示したように、次のベクトルは1次独立である。



つまり、どのベクトルも残りのベクトルで表すことができないということである。

これは、3つのベクトルが同一平面内には収まらないことを意味する。

実際にベクトルを図示すると、



以上から分かるように、次は同値である。

(1) p、p、p は1次独立である。

(2) p、p、p のうち、どのベクトルも残りのベクトルで表すことはできない。

(3) p、p、p は同一平面内にはない。