1次独立、1次従属[3次元ver]

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参考

次のベクトルは1次従属である。

証明

次のような関係を考える。

(*) c+c+c=0

=2、c=1、c=−1 は関係(*)を満たす。

よって、p、p、p は1次従属である。

参考

上で示したように、次のベクトルは1次従属である。



実際、2p+p−p=0 が成り立つことが示された。

ところで、この式は、p=2p+p に変形できる。

これを図示すると、



つまり、p は p と p によって表されるということである。

以上から分かるように、次は同値である。

(1) p、p、p は1次従属である。

(2) p、p、p のうち、任意のベクトルは残りのベクトルで表される。

(3) p、p、p は同一平面内にある。

参考

次のベクトルは1次独立である。

証明

次のような関係を考える。

(*) c+c+c=0

この関係を満たす係数は c=0、c=0、c=0 以外に存在しない。

よって、p、p、p は1次独立である。

参考

上で示したように、次のベクトルは1次独立である。



つまり、どのベクトルも残りのベクトルによって表すことはできない。

これは、3つのベクトルが同一平面内には収まらないことを意味する。

実際にベクトルを図示すると、



以上から分かるように、次は同値である。

(1) p、p、p は1次独立である。

(2) p、p、p のうち、どのベクトルも残りのベクトルで表すことはできない。

(3) p、p、p は同一平面内にはない。

参考 ( 1次独立 )

、b、c をベクトルとする。

+c+c=0 を満たす係数は(c、c、c)=(0、0、0)のみであるとする。

このとき、「 a、b、c は1次独立である 」 という。

大雑把に言うと、1次独立とは 「 ベクトルが別方向を向いている 」 を意味する。(★)

例えば、次のようなベクトル e+e+e を考える。



このとき、次を満たす係数 c、c、c は何であろうか?



明らかに、これは(c、c、c)=(0、0、0)のみである。

つまり、 e+e+e は1次独立である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

では、次のベクトルはどうであろうか?



つまり、A、B、C は同一平面内 ( xy平面内 )にある。

一見すると、これは(★)によって1次独立であるように思えるかもしれない。

しかし、これらのベクトルは1次独立ではない。

主張(★)は直感的に受け入れやすいが、今回のような誤解を伴う可能性もある。

これを確認するため、次の関係を考える。



むろん、(c、c、c)=(0、0、0)は(*)を満たす。

ただし、(c、c、c)=(2、3、1)も(*)を満たす。

よって、A、B、C は1次独立ではない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

これは直観的には次のように理解できる。



つまり、C と 2A+3B が同じ直線上に乗ってしまう。

この意味で、実はベクトル A、B、C の向きはバラバラではない。

むろん、C=−(2A+3B)である。

つまり、C は A と B の1次結合で実現できてしまう。

この意味で、実は本質的なベクトルの数は2個だけである。

このように、あるベクトルを他のベクトルで表せるとき、これらのベクトルは 「 1次従属である 」 という。

参考 ( ベクトル空間 )

参考(1次独立)に書いた議論によって次が分かる。

(*1) 平面内で3つ以上のベクトルが1次独立となることはない。

あるいは、次のように言い換えられる。

(*2) 平面内で1次独立となるベクトルは最大で2個である。

1次独立となるベクトルの個数が最大で n 個であるとき、その空間を 『 n次元ベクトル空間 』 という。

つまり、平面は2次元ベクトル空間である。

例えば、2次元のベクトルは下図のような2つのベクトル e=(1、0) と e=(0、1) で表せる。



例えば、ベクトル v=(3、2) は v=3e+2e で表せる。

つまり、{e、e}は 『 基底 』 であり、平面座標は 『 2次元ベクトル空間 』 である。

とくに、{e、e}は互いに直交していて、ベクトルの大きさは1である。

このような基底を 『 正規直交基底 』 という。

ただし、基底の取り方は一意ではない。

つまり、別のベクトルの組を基底として採用することもできる。

例えば、下図のようなベクトルを基底として採用することもできる。



実際、これによって先の v を v=2e’+e’ と表すこともできる。

例えば、任意の2次行列は次の行列によって表示できる。



実際、任意の行列 A=(aij) は次のように表せる。



つまり、{E、・・・、E}は 『 基底 』 である。

また、2次行列全体は 『 4次元ベクトル空間 』 である。

とくに、実2次行列全体の場合は 『 4次元実ベクトル空間 』 である。(※係数 a、・・・、a の範囲が実数)

複素2次行列全体の場合は 『 4次元複素ベクトル空間 』 である。(※係数 a、・・・、a の範囲が複素数)

むろん、基底の選び方は一意とは限らない。

例えば、次のような行列を基底として採用することもできる。



この{σ、σ、σ、σ}を 『 パウリ行列 』 という。

つまり、任意の2次複素行列はパウリ行列によって表される。

つまり、パウリ行列は2次複素行列全体から成る複素4次元ベクトル空間の基底である。

もしかしたら、

「 なぜ、わざわざパウリ行列などというものを基底として採用するのだろう? 」

・・・という疑問をもつ人がいるかもしれない。

実は、パウリ行列はエルミートかつトレースゼロの行列である。

エルミートかつトレースゼロの行列はリー群論(リー代数、表現論)において基本的である。

実際、パウリ行列はSU(3)の表現において有用である。

ちなみに、パウリ行列を3次行列に拡張した行列として 『 ゲルマン行列 』 がある。

ゲルマン行列はSU(3)の表現を記述するときに有用である。