ベクトル空間の具体例

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復習 ( ベクトル空間の公理 )

集合 V に対し、次の演算を導入する。

(*1) v、w∈V ⇒ v+w∈V

(*2) v∈V、k∈K ⇒ kv∈V

さらに、次の(1)〜(8)が成り立つとする。

(1) v+w=w+v

(2) (v+w)+u=v+(w+u)

(3) ある x∈V が存在して、任意の v∈V に対し v+x=v となる。( このような x を 0 と表す )

(4) 任意の v∈V に対し、ある y∈V が存在して、v+y=0 となる。( このような y を −v と表す )

(5) k(v+w)=kv+kw

(6) (k+h)v=kv+hv

(7) (kh)v=k(hv)

(8) 1v=v

このとき、V を 『 K上のベクトル空間 』 という。

V の元を 『 V のベクトル 』 という。

上の(1)〜(8)を 『 ベクトル空間の公理 』 という。

参考

(1) 複素数列全体は複素ベクトル空間である。

(2) 実数列全体は実ベクトル空間である。

(1)の証明

複素数列全体を と表す。

a、b∈ とおく。

a=(α、α、・・・)と表す。

b=(β、β、・・・)と表す。

k∈ とおく。

いま、自然に、次のように定義できる。

(*) a+b=(α+β、α+β、・・・)

(*) ka=(kα、kα、・・・)

明らかに、次が成り立つ。

(*1) a+b∈

(*2) ka∈

また、明らかに、 はベクトル空間の公理を満たす。

例えば、ベクトル空間の公理(3)と(4)について確認しよう。

0=(0、0、・・・)と定義する。

明らかに、0 は の零元である。

実際、任意の a∈ に対して a+0=a となる。

−a=(−α、−α、・・・)と定義する。

明らかに、−a は a の逆元である。

実際、a+(−a)=0 である。

(2)の証明

(1)と同様である。

参考

A={ (x、y)|y=2x } は実ベクトル空間である。

証明

(x、y)、(x、y)∈A とおく。

k∈ とおく。

いま、自然に、次のように定義できる。

(*) (x、y)+(x、y)=(x+x、y+y

(*) k(x、y)=(kx、ky

明らかに、次が成り立つ。

(*1) a+b∈A

(*2) ka∈A

また、明らかに、A はベクトル空間の公理を満たす。

むろん、零元は(0、0)である。

また、(x、y)の逆元は、(−x、−y)である。

参考

I=[a、b] を の閉区間とする。

I 上の実数値連続関数全体は実ベクトル空間となる。

証明

I上の実数値連続関数全体を C(I) と表す。

f、g∈C(I)とおく。

k∈ とおく。

f+g:I→ を (f+g)(x)=f(x)+g(x)で定義する。

kf:I→ を(kf)(x)=kf(x)で定義する。

つまり、和とスカラー倍を定義できた。

また、C(I)がベクトル空間の公理を満たすことも明らかであろう。

例えば、0:I→ を 0(x)=0 で定義する。

この 0 は C(I) の零元である。

補足

『 定値関数としての 0 』 と 『 数としての 0 』 の区別が付かなくて混乱する人がいるかもしれない。

この2つはしっかり区別する必要がある。

C(I)の零元は、定値関数としての 0 を意味する。

つまり、I 上でつねに値 0 をとる関数である。