1次従属、1次独立、ベクトル空間の次元

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参考

このページの内容は少し長いが、いずれも同じ考え方で理解できるものである。

なので、あえて1つのページにまとめた。

定義 ( 1次結合 )

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、v∈V とおく。

、・・・、c∈K とおく。

このとき、c+・・・+c を 『 v、・・・、v の1次結合 』 という。

定義 ( 1次独立 )

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、v∈V とおく。

次のような関係を考える。

(*) c+・・・+c=0

関係(*)を満たす係数が c=0、・・・、c=0 のみであるとする。

このとき、「 v、・・・、v は1次独立である 」 という。

定義 ( 1次従属 )

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、v∈V とおく。

次のような関係を考える。

(*) c+・・・+c=0

関係(*)を満たす係数で、c、・・・、c のうち 0 でないものが少なくとも1つ存在するとする。

このとき、「 v、・・・、v は1次従属である 」 という。

むろん、c=0、・・・、c=0 とすれば、つねに(*)は成り立つ。

これを 『 自明な1次関係 』 という。

言い換えれば、1次従属とは 「 自明でない1次関係が存在すること 」 を意味する。

定義 ( 部分空間の生成 )

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、v∈V とおく。

次のように定義する。



明らかに、span(v、・・・、v)は V の部分空間である。(★)

このとき、span(v、・・・、v) を 『 v、・・・、v によって生成される部分空間 』 という。

S={ v、・・・、v } とおいて、span(S)と表してもよい。

(★)の証明

W=span(v、・・・、v) とおく。

v、w∈W とおく。

いま、v=c+・・・+c と表せる。

また、w=c’+・・・+c’ と表せる。

k∈K とおく。

いま、v+w=(c+c’)v+・・・+(c+c’)v∈W である。

また、kv=kc+・・・+kc∈W である。

以上により、次が示された。

(*1) v、w∈W ⇒ v+w∈W

(*2) v∈W、k∈K ⇒ kv∈W

また、明らかに W≠φである。

よって、W は V の部分空間である。(※D3)

D4 ( span(S) は S を含む最小の部分空間である )

V を K 上のベクトル空間とする。

W を V の部分空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) v、・・・、v∈W ⇒ span(v、・・・、v)⊂W

補足

つまり、span(S) は S を含む最小の部分空間である。

証明

明らかである。(※定義:部分空間)

定義 ( 基底 )

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、v∈V とおく。

さらに、次が成り立つとする。

(1) v、・・・、v は1次独立である。

(2) v、・・・、v は V を生成する。

このとき、ベクトルの組 { v、・・・、v } を V の 『 基底 』 という。

基底ではベクトルの順序も考慮する。

例えば、{ v、v、v } と { v、v、v } は区別する。

これを強調するため、< v、v、v > のように括弧を表す書物もある。

S が V の基底であれば、明らかに、span(S)=V である。

定義 ( 自然基底 )

について、次のような列ベクトルを考える。



このようなベクトルを 『 基本ベクトル 』 という。

{ e、・・・、e } を 『 Kの自然基底 』 という。

例えば、K の基本ベクトルは次のように表される。

D5

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、v∈V とおく。

このとき、次は同値である。

(1) v、・・・、v は1次独立である。

(2) v、・・・、v の1次結合による表現は一意である。

証明

(1)を仮定する。

+・・・+c=c’+・・・+c’ とおく。

式変形すると、(c−c’)v+・・・+(c−c’)v=0 である。

いま、v、・・・、v は1次独立である。

よって、c−c’=0、・・・、c−c’=0 である。

よって、c=c’、・・・、c=c’ である。

よって、1次結合による表現は一意である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

+・・・+c=0 とおく。(★)

=・・・=c=0 とすれば、(★)が成り立つ

仮定より、これ以外に (★) を満たす係数は存在しない。

つまり、v、・・・、v は1次独立である。

D6

V を K上のベクトル空間とする。

、・・・、v、vn+1∈V とおく。

、・・・、v が1次独立であるとする。

、・・・、v、vn+1 が1次従属であるとする。

このとき、vn+1 は v、・・・、v の1次結合として一意に表される。

証明

+・・・+c+cn+1n+1=0 とおく。(★)

仮定より、(★)について、c、・・・、c、cn+1 のうち少なくとも1つは 0 でないようにできる。

ここで、cn+1=0 とする。(背理法)

いま、c+・・・+c=0 である。

ところが、v、・・・、v は1次独立であるから、c=0、・・・、c=0 となって仮定に反する。

よって、cn+1≠0 である。

そこで、(★)を式変形して、



よって、vn+1 は v、・・・、v の1次結合として表すことができる。

また、この表し方は一意である。(※D5)

D7 ( 1次独立、1次従属に対する同値条件 )

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、v を V のベクトルとする。

次は同値である。

(1) v、・・・、v は1次従属である。

(2) v、・・・、v のうち、少なくとも1つは残りのベクトルの1次結合として表される。

また、次の(3)、(4)は互いに同値である。

(3) v、・・・、v は1次独立である。

(4) v、・・・、v のうち、いずれも残りのベクトルの1次結合として表すことができない。

補足

書物によっては、(2)、(4)を1次従属、1次独立の定義として採用しているものもある。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

+・・・+c=0 とおく。

いま、ある係数 c について c≠0 である。

よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

=c+・・・+ci−1i−1+ci+1i+1+・・・+c とおく。

式変形すると、c+・・・+ci−1i−1+(−1)v+ci+1i+1+・・・+c=0 である。

よって、v、・・・、v は1次従属である。

(3)⇔(4)の証明

(3)⇒(4)は(2)⇒(1)の対偶である。

(4)⇒(3)は(1)⇒(2)の対偶である。

D8

A を m×n 行列とする。

Ax=0 を連立1次方程式とする。

m<n と仮定する。

このとき、この連立1次方程式は自明でない解をもつ。

補足

この定理は C10 とほぼ同じ内容だが、復習も兼ねてあえて書いた。

証明

明らかに rankA≦mである。

また、仮定より m<n だから rankA<n である。

よって、Ax=0 は自明でない解をもつ。(※C10)

D9

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、v∈V とおく。

、・・・、w∈V とおく。

各 w、・・・、w が v、・・・、v の1次結合で表されるとする。

このとき、w、・・・、w が1次独立ならば m≦n である。

証明

m>n と仮定する。(対偶)

次のようにおく。



いま、仮定より、次のようにおいてよい。



ここで、次のようにおく。



いま、(*1)〜(*3)より、



ここで、(*3)において b=0、・・・、b=0 とする。

いま、(*3)は自明でない解をもつ。(※D8)

そこで、x=β、・・・、x=β とおく。

いま、(*4)より、β+・・・+β=0 である。

また、β、・・・、β のうち、少なくとも1つは 0 でない。

よって、w、・・・、w は1次従属である。

D10

V を K 上のベクトル空間とする。

V の任意の基底は同じ個数の基底ベクトルをもつ。

証明

{ v、・・・、v }、{ w、・・・、w } を V の基底とする。

V の任意の元は基底ベクトルの1次結合で表される。

よって、w、・・・、w をそれぞれ v、・・・、v の1次結合で表すことができる。

よって、m≦n である。(※D9)

{ v、・・・、v } と { w、・・・、w } を交換して同様の議論を行うと、m≧n である。

よって、m=n である。

定義 ( 次元 )

V を K 上のベクトル空間とする。

V の基底ベクトルの個数を 『 V の次元 』 といい、dim V と表す。

ベクトル空間の基底の取り方は1つとは限らない。

だから、次のような疑念が生まれる。

「 基底の取り方によって基底ベクトルの個数が変わってしまい、次元が定まらないのでは?」

しかし、そのようなことは起こらない。

これは既に保障されている。(※D10)

だから上記のように定義できる。

定義 ( 有限次元、無限次元 )

V を K 上のベクトル空間とする。

V の基底が有限個の元からなるとする。

このとき、V は 『 有限次元 』 であるという。

そうでない場合を 『 無限次元 』 という。

標準的な線形代数の教科書で扱うのは有限次元の場合のみである。

このサイトでも、有限次元のベクトル空間に限って議論を進めることになる。

とくに、関数解析では無限次元のベクトル空間が重要になる。

D11

A を n 次行列とする。

、・・・、a を A の行ベクトルとする。

a’、・・・、a’ を A の列ベクトルとする。

このとき、次は同値である。

(1) A は正則である。

(2) a’、・・・、a’ が1次独立である。

(3) a、・・・、a が1次独立である。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

次のような連立1次方程式を考える。



いま、A は逆行列をもつ。(※定義:正則性)

そこで、Ax=0 の両辺に A−1 を掛けると、x=0 である。

この連立1次方程式は次のように表すこともできる。



いま、この式を満たす x は 0 のみである。

つまり、列ベクトル a’、・・・、a’ は1次独立である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

A は正則でないと仮定する。(背理法)

いま、Ax=0 は自明でない解をもつ。(※C11)

つまり、(*)について、x、・・・、x の中で少なくとも1つは 0 でないような解が存在する。

これは仮定(2)に矛盾する。

よって、A は正則である。

(1)⇔(3)の証明

(1)⇔(2)に対して、|A|=|A|を用いればよい。(※B7)

D12

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

このとき、V の1次独立なベクトルの最大個数は n である。

証明

{ v、・・・、v } を V の基底とする。

、・・・、w を V の1次独立な元とする。

各 w、・・・、w は v、・・・、v の1次結合で表される。

よって、m≦n である。(※D9)

D13 ( 基底への拡大 )

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

、・・・、v を V の1次独立なベクトルとする。

このとき、ある vr+1、・・・、v∈V が存在して、v、・・・、v が V の基底となるようにできる。

r=n の場合は、v、・・・、v が V の基底である。

証明

明らかに、r≦n である。(※D12)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(1) r=n の場合について考える。

、・・・、v の1次結合で表されない V の元 vr+1 が存在すると仮定する。(背理法)

いま、v、・・・、v、vr+1 は1次独立である。(※D6の対偶を考えればよい )

つまり、V は r+1=n+1個の1次独立な元をもつことになる。

しかし、dimV=n であるから、これは矛盾である。(※D12)

よって、V の任意の元は v、・・・、v の1次結合で表される。

よって、v、・・・、v は V を生成する。

よって、v、・・・、v は V の基底である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2) r<n の場合について考える。

いま、v、・・・、v は V の基底ではない。

よって、v、・・・、v で表されない V の元 vr+1 が存在する。

いま、v、・・・、v、vr+1 は1次独立である。(※D6の対偶)

r+1=n ならば、(1)より、v、・・・、vr+1 が V の基底になる。

r+1<n ならば、同様に vr+2 を加える。

これを順に繰り返していけば、最終的に v、・・・、v が V の基底となるようにできる。

D14 ( 基底への縮小 )

V を K 上のベクトル空間とする。

V が v、・・・、v によって生成されるとする。

これら s 個の元の中からいくつかの元を選んで、V の基底を作ることができる。

証明

{ v、・・・、v } の中で、最も多くの元を含む1次独立な元の集合を次のようにおく。

(*) { v、・・・、v } ( r≦s )

( ただし、必要に応じて番号を付け替える )

r=s ならば、これがそのまま V の基底である。

r<s ならば、r<k≦s となる任意の k について、v は v、・・・、v の1次結合で表される。(※D6)

よって、V の任意の元は v、・・・、v の1次結合で表すことができる。

よって、v、・・・、v は V の基底である。

参考

D13 は 「 不足したベクトルを補充すると基底になる 」 と主張している。

D14 は 「 過剰なベクトルを削減すると基底になる 」 と主張している。

D15

V を K 上のベクトル空間とする。

W を V の部分空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) dimW≦dimV

(2) W=V ⇔ dimW=dimV

(1)の証明

{ v、・・・、v } を W の基底とする。

いま、v、・・・、v は V の元であり、1次独立である。

よって、n≦dimV である。(※D12)

よって、dimW≦dimV である。

(2)の証明

W=V ⇒ dimW=dimV は明らかである。

dimW=dimV を仮定する。

{ v、・・・、v } を W の基底とする。

いま、v、・・・、v は1次独立な V の元である。

しかも仮定より、dimW=dimV であるから、これは V の基底である。(※D13)

よって、V は v、・・・、v によって生成される。

よって、W=V である。

D16

V を K 上のベクトル空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) dimV=n

(2) V の任意のベクトルが、ある v、・・・、v∈V の1次結合によって一意に表される。

証明

(1)を仮定する。

{ v、・・・、v } を V の基底とする。

いま、V の任意のベクトルは v、・・・、v の1次結合で表される。

また、この表し方は一意である。(※D5)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

、・・・、v は1次独立である。(※D5)

しかも仮定より、v、・・・、v は V を生成する。

よって、v、・・・、v は V の基底である。

よって、dimV=n である。(※定義:次元)

D17

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) v、・・・、v は V の基底である。

(2) v、・・・、v は1次独立である。

(3) v、・・・、v は V を生成する。

証明

(1)⇒(2)と(1)⇒(3)は明らかである。(※定義:基底)

(2)⇒(1)も明らかである。(※D13)

(3)⇒(1)も明らかである。(※D14)

参考 ( 正則性の同値条件のまとめ )

A を n 次行列とする。

このとき、次は同値である。(※B15、C5、C11、D11)

(1) A は正則である。

(2) |A|≠0 である。

(3) rankA=n である。

(4) Ax=0 は自明な解のみをもつ。

(5) A の列ベクトルは1次独立である。

(6) A の行ベクトルは1次独立である。