部分空間の和

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定義 ( 部分空間の和 )

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、W の V の部分空間とする。

+・・・+W={ v∈V|ある w∈W、・・・、w∈W が存在して v=w+・・・+w と表せる } と定義する。

明らかに、W+・・・+W は V の部分空間である。(★)

このとき、W+・・・+W を 『 W、・・・、W の和 』 という。

(★)の証明

v、w∈W+・・・+W とおく。

いま、v=w+・・・+w ( w∈W ) と表せる。

また、v=w’+・・・+w’ ( w’∈W ) と表せる。

いま、v+w=(w+w’)+・・・+(w+w’) である。

また、w+w’∈W である。

よって、v+w∈W+・・・+W である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

v∈W+・・・+W、k∈K とおく。

いま、v=w+・・・+w ( w∈W ) と表せる。

また、kv=kw+・・・+kw ( kw∈W ) である。

よって、kv∈W である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、W は部分空間である。

F10

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、W を V の部分空間とする。

W を V の部分空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) W、・・・、W⊂W+・・・+W

(2) W、・・・、W⊂W ⇒ W+・・・+W⊂W

補足

つまり、W+・・・+W は、W、・・・、W を含む部分空間の中で最小である。

(1)の証明

v∈W とおく。

いま、0∈W、・・・、0∈Wk−1、0∈Wk+1、・・・、0∈W である。

よって、v=0+・・・+0+v+0+・・・+0∈W+・・・+W である。

よって、W⊂W+・・・+W である。

(2)の証明

、・・・、W⊂W と仮定する。

v∈W+・・・+W とおく。

いま、v=w+・・・+w ( w∈W ) と表せる。

また、w、・・・、w∈W である。

よって、v=w+・・・+w∈W である。

よって、W+・・・+W⊂W である。

F11

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、W を V の部分空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) (W+・・・+Wr−1)+W=W+・・・+W

証明

いま、W、・・・、Wr−1⊂W+・・・+Wr−1 である。(※F10)

よって、W+・・・+Wr−1⊂W+・・・+W である。(※F10)

一方、W⊂W+・・・+W である。(※F10)

よって、(W+・・・+Wr−1)+W⊂W+・・・+W である。(※F10)(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、W、・・・、Wr−1⊂W+・・・+Wr−1 である。(※F10)

明らかに、W+・・・+Wr−1⊂(W+・・・+Wr−1)+W である。

明らかに、W⊂(W+・・・+Wr−1)+W である。

よって、W、・・・、W⊂(W+・・・+Wr−1)+W である。(※F10)

よって、W+・・・+W⊂(W+・・・+Wr−1)+W である。(※F10)(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、(W+・・・+Wr−1)+W=W+・・・+W である。

F12

V を K 上のベクトル空間とする。

、W を V の部分空間とする。

このとき、W∩W は V の部分空間である。

証明

x、y∈W∩W とおく。

いま、x、y∈W である。

また、W は V の部分空間である。

よって、x+y∈W、kv∈W である。(※D3)(★1)

いま、x、y∈W である。

また、W は V の部分空間である。

よって、x+y∈W、kv∈W である。(※D3)(★2)

(★1)、(★2)より、x+y、kx∈W∩W である。

よって、W∩W は V の部分空間である。(※D3)

F13

V を K 上のベクトル空間とする。

、W を V の部分空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) dimW+dimW=dim(W+W)+dim(W∩W

補足

既に示したように、W∩W は部分空間である。(※F12)

よって、dim(W∩W)は意味をもつ。

証明

{ v、・・・、v } を W∩W の基底とする。

{ v、・・・、v、w、・・・、w } を W の基底とする。

{ v、・・・、v、u、・・・、u } を W の基底とする。

このようにおくことができることは保障されている。(※D18、D13)

いま、dim(W∩W)=r、dimW=r+s、dimW=r+t

そこで、dim(W+W)=r+s+t を示せばよい。

つまり、次が W+W の基底になることを示せばよい。

(*1) v、・・・、v、w、・・・、w、u、・・・、u

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( まず、W が(*1)によって生成されることを示す )

x∈W+W とおく。

いま、ある x∈W と x∈W が存在して、x=x+x となる。

よって、任意の x は(*1)の1次結合として表すことができる。

よって、W は (*1) によって生成される。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( 次に、(*1) が1次独立であることを示す )

次のようにおく。

(*2) (a+・・・+a)+(b+・・・+b)+(c+・・・+c)=0

これを式変形すると、(a+・・・+a)+(b+・・・+b)=−(c+・・・+c)である。

いま、左辺は W のベクトル、右辺は W2 のベクトルになっている。

よって、両辺とも W∩W の元である。

よって、−(c+・・・+c)=(a’+・・・+a’) と表せる。

式変形すると、a’+・・・+a’+c+・・・+c=0 である。

いま、v、・・・、v、u、・・・、u は1次独立である。

よって、c=・・・=c=0、a’=・・・=a’=0 である。

これを(*2) に代入すると、(a+・・・+a)+(b+・・・+b)=0 である。

いま、v、・・・、v、w、・・・、w は1次独立である。

よって、a=・・・=a=0、b=・・・=b=0 である。

まとめると、(*2)を満たす係数は、a=・・・=a=0、b=・・・=b=0、c=・・・=c=0 である。

つまり、(*1) は1次独立である。(★2)

(★1)、(★2)より、(*1)は W+W の基底である。

F14

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、W を V の部分空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) dim(W+・・・+W)≦dimW+・・・+dimW

証明

r=1 の場合、明らかに成り立つ。

r=k の場合について定理が成り立つと仮定する。

、・・・、Wk+1 を V の部分空間とする。

U=W+・・・+W とおく。

W=W+・・・+Wk+1 とおく。

いま、W=U+Wk+1 である。

よって、dimW=dimU+dimWk+1−dim(U∩Wk+1) である。(※F13)

よって、dimW≦dimU+dimWk+1 である。

一方、dimU≦dimW+・・・+dimW である。(※帰納法の仮定)

よって、dimW≦dimW+・・・+dimWk+1 である。