部分空間の直和

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定義 ( 部分空間の直和 )

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、W を V の部分空間とする。

任意の x∈W+・・・+W に対し、その表示 x=w+・・・+w ( w∈W ) が一意であるとする。

このとき、W+・・・+W を W□・・・□W と表す。

この W□・・・□W を 『 W、・・・、W の直和 』 という。

F15

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、W を V の部分空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) W+・・・+W は直和である。

(2) w+・・・+w=0 ( w∈W ) ⇒ w=0、・・・、w=0

(3) 任意の i∈{ 1、・・・、r } に対し、(W+・・・+Wi−1+Wi+1+・・・+W)∩W={0} である。

(4) 任意の i∈{ 2、・・・、r } に対し、(W+・・・+Wi−1)∩W={0} である。

(5) dim(W+・・・+W)=dimW+・・・+dimW

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

+・・・+w=0 ( w∈W ) とする。

いま、0+・・・+0=0 である。

表示は一意であるから、w=0、・・・、w=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

x∈W+・・・+W とおく。

x=w+・・・+w=w’+・・・+w’ ( w、w’∈W ) とする。

いま、(w−w’)+・・・+(w−w’)=0 である。

よって、w−w’=0、・・・、w−w’=0 である。

よって、w=w’、・・・、w=w’ である。

(1)⇒(3)の証明

(1)を仮定する。

x∈(W+・・・+Wi−1+Wi+1+・・・+W)∩W とおく。

いま、x=w+・・・+wi−1+0+wi+1+・・・+w と表せる。

また、x=0+・・・+0+x+0+・・・+0 と表せる。

よって、x=0 である。

(3)⇒(4)の証明

明らかである。

(4)⇒(1)の証明

x∈W+・・・+W とおく。

x=w+・・・+w=w’+・・・+w’ ( w、w’∈W ) とおく。(★1)

いま、(w+・・・+wr−1)−(w’+・・・+w’r−1)=w’−w である。

上式の左辺は W+・・・+Wr−1 に属し、右辺は W に属する。

よって、この両辺は 0 に等しい。

よって、w’=w である。

また、w+・・・+wr−1=w’+・・・+w’r−1 である。(★2)

(★2)は(★1)と同じ形をしている。

よって、(★1)から(★2)までと同様の議論により、w’r−1=wr−1 である。

これを繰り返し、w=w’、・・・、w=w’ である。

つまり、x の表示は一意である。

(4)⇔(5)の証明

=W+・・・+W とおく。

いま、U=Uk−1+W である。

よって、dimU−dimUk−1=dimW−dim(Uk−1∩W)である。(※F13)

これを k=2、・・・、r について足し合わせる。

すると、dimU−dimU2≦k≦rdimW2≦k≦rdim(Uk−1∩W)である。

つまり、dim(W+・・・+W)=1≦k≦rdimW2≦k≦rdim(Uk−1∩W)である。

よって、(4)⇔(5)である。

F16

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、W を V の部分空間とする。

+・・・+W は直和であるとする。

を W の基底とする。

このとき、S∪・・・∪S は V+・・・+V の基底である。

証明

W=W+・・・+W とおく。

S=S∪・・・∪S とおく。

∩S ( i<j ) は空でないとする。(背理法)

いま、ある v≠0 が存在して、v∈S∩S となる。

また、v∈W∩W である。

よって、v∈(W+・・・+Wj−1)∩W である。

いま、W+・・・+W は直和である。

よって、v=0 である。(※F15)

これは矛盾である。

よって、W∩W=φ ( i<j ) である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=dimW とおく。

つまり、S の元の個数は d である。

よって、(★1)より、S の元の個数は d+・・・+d である。

一方、dimW=d+・・・+d である。(※F15)

つまり、「 S の元の個数 」=dimW である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

w∈W とおく。

いま、w=w+・・・+w ( w∈W ) と表せる。

また、各 w は S の元の1次結合で表せる。

よって、w は S の元の1次結合である。

つまり、W は S によって生成される。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、S は W の基底である。