クラメルの公式、逆行列の計算

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C14 ( クラメルの公式 )

次のような連立1次方程式を考える。



このとき、次が成り立つ。(※B6)



同様の計算を y と z について行い、式変形すると、



これは連立1次方程式の解になっている。

これを 『 クラメルの公式 』 という。

証明

証明は定理の中で述べたので必要ない。

C15 ( 掃き出し法による逆行列の計算 )

例えば、次のような行列 A を考える。



A の逆行列を次のようにおく。



このとき、



よって、次の2つの連立1次方程式を解けば、A−1 を求めることができる。



A と I の成分を並べた行列を(A、I)と表す。

明らかに、次の(1)、(2)は同値である。(※C8)

(1) 上の2つの連立1次方程式を解く。

(2) (A、I)に行基本変形を行って(I、X)の形に変形する。

このとき、X=A−1 となって A−1 が求められる。

3次以上の行列に対しても同様のことが成り立つ。

証明

証明は定理の中に書いた。

例題

次の行列 A について、掃き出し法で逆行列を求めよ。

解答

次のような行列を考える。



行基本変形を行うと、



よって、

C16 ( 2次行列の逆行列の公式 )

A を2次行列とする。

A を次のようにおく。



このとき、ad−bc≠0 ならば A−1 は次のように表される。

証明

実際に積を計算してみればよい。

補足

ところで、もし、ad−bc=0 ならば A−1 は表せないことになる。

実際、このとき、A の逆行列は存在しない。

なぜなら、|A|=ad−bc により、|A|=0 となるからである。(※B4、B15)