行列の対角化(固有値がすべて異なる場合)

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注意

対角成分が a11、・・・、ann である対角行列を diag(a11、・・・、ann)と表す。

定義 ( 行列の固有値 )

A を n 次 K 行列とする。

λ∈K とおく。

ある x∈K ( ただし x≠0 ) が存在して、Ax=λx となるとする。

このとき、λを 『 A の固有値 』 という。

また、x を 『 λに伴う ( A の ) 固有ベクトル 』 という。

固有ベクトルは一意ではない。

例えば、x を固有値λに伴う固有ベクトルとする。

y=cx ( c∈K ) とおく。

いま、Ay=cAx=cλx=λ(cx)=λy である。

つまり、y もλに伴う固有ベクトルである。

定義 ( 固有多項式 )

A を n 次 K 行列とする。

=|xI−A|と定義する。

このとき、F(x) を 『 A の固有多項式(特性多項式) 』 という。

また、F(x)=0 を 『 A の固有方程式(特性方程式) 』 という。

参考 ( 根と解は同じ意味 )

F(x) を多項式とする。

ある a が存在して、F(a)=0 となるとする。

このとき、a を 『 F(x)の根 』 という。

一方、方程式 F(x)=0 について考えよう。

ある a が存在して、F(a)=0 となるとする。

このとき、a を 『 F(x)=0 の解 』 という。

つまり、『 多項式の根 』 と 『 方程式の解 』 は同じ意味である。

『 根 』 と 『 解 』 を区別していない本もある。

F1

A を n 次 K 行列とする。

λ∈K とおく。

このとき、次は同値である。

(1) λは A の固有値である。

(2) λは F(x)の根である。

証明

明らかに、次は同値である。(※C11)

(*1) λは A の固有値である。

(*2) ある x∈K ( ただし x≠0 ) が存在して、Ax=λx となる。

(*3) ある x∈K ( ただし x≠0 ) が存在して、(λI−A)x=0 となる。

(*4) (λI−A)x=0 は 0 でない解をもつ。

(*5) |λI−A|=0

(*6) λは F(x)の根である。

F2

A を n 次 K 行列とする。

(x) を A の固有多項式とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F(x) の次数は n である。

(2) F(x) の x の係数は 1 である。

(3) F(x) の xn−1 の係数は −trA である。

証明

B=xI−A とおく。

B=(bij) とおく。

いま、



また、



いま、(*)より、B の成分は1次式または定数である。

よって、bσ(1)1・・・bσ(n)n は n 次以下の多項式である。

また、これが n 次となるのは、bσ(1)1、・・・、bσ(n)n がすべて1次式である場合に限る。

よって、(*)より、σ(1)=1、・・・、σ(n)=n の場合のみ、bσ(1)1・・・bσ(n)n は n 次である。

つまり、σが恒等置換である場合のみ、bσ(1)1・・・bσ(n)n は n 次である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

σが恒等置換でない場合について考える。

いま、σ(k)≠k となる k∈{ 1、・・・、n } が少なくとも2つ存在する。

よって、bσ(1)1・・・bσ(n)n は(n−2)次以下の多項式である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、F(x)=b11・・・bnn+「(n−2)次以下の多項式」である。

つまり、F(x)=(x−a11)・・・(x−ann)+「(n−2)次以下の多項式」である。

つまり、F(x)=x−(a11+・・・+ann)xn−1+「(n−2)次以下の多項式」である。

つまり、F(x)=x−trAxn−1+「(n−2)次以下の多項式」である。

F3

A を n 次 K 行列とする。

P を n 次正則行列とする。

このとき、A の固有値全体と P−1AP の固有値全体は一致する。

証明

いま、xI−P−1AP=xP−1P−P−1AP=P−1(xI−A)P である。

よって、

補足

上の計算では|P−1|=|P|−1 を用いた。

この関係が成り立つことは|P−1||P|=|P−1P|=|I|=1に注意すれば分かる。

F4 ( 代数学の基本定理 )

F(x)を、複素係数の n 次多項式とする。

c を x の係数とする。

このとき、あるα、・・・、α が一意に存在して、次の形で表せる。

(*) F(x)=c(x−α)・・・(x−α

補足

つまり、複素係数多項式はつねに1次式と定数の積に分解される。

つまり、n 次多項式は複素係数の範囲で重複を含めてつねに n 個の根をもつ。

これは高校数学でも経験的によく知られているであろう。

例えば、x+x+1は実数の範囲では根をもたない。

しかし、複素数の範囲では2つの根をもつ。

補足

ただし、α、・・・、α は重複を含む可能性がある。

例えば、x は、x=(x−0)・・・(x−0)と分解される。

証明

省略する。

これの厳密な証明は長いので、線形代数の書物では省略されることが多い。

F5 ( n次複素行列は n 個の固有値をもつ )

A を n 次複素行列とする。

(x) を A の固有多項式とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F(x)=(x−λ)・・・(x−λ)の形で表せる。

(2) λ、・・・、λ は A の固有値である。

補足

つまり、n次複素行列は(重複を含めて) n 個の固有値をもつ。

補足

A が実行列の場合、(2)は成り立たない。(※定義:固有値)

(1)の証明

明らかである。(※F2、代数学の基本定理)

(2)の証明

(1)より明らかである。(※F1)

定義 ( 代数的重複度 )

A を n 次複素行列とする。

(x)を A の固有多項式とする。

いま、F(x)=(x−λ)・・・(x−λ)と表せる。(※F5)

また、λ、・・・、λ は A の固有値である。

ただし、λ、・・・、λ は重複している可能性がある。(※F4(代数学の基本定理)の補足)

そこで、この中から相異なるものを取り出してμ、・・・、μ とする。

つまり、{ μ、・・・、μ }={ λ、・・・、λ } である。

いま、F(x)=(x−μ・・・(x−μ と表せる。

このとき、m を 『 λ の代数的重複度 』 という。

むろん、m+・・・+m=n である。

定義 ( 対角化可能 )

A を n 次 K 行列とする。

ある n 次 K 正則行列 P が存在して、P−1AP が対角行列になるとする。

このとき、「 A は対角化可能である 」 という。

F6

単位行列の(i、i)成分と(j、j)成分を 0 に変更する。

さらに、(i、j)成分と(j、i)成分を1に変更する。

このような行列を Pij と表す。

このとき、次が成り立つ。

補足

この Pij は 『 基本行列 』 の1つである。

基本行列については前にも詳しく扱っているが、ここで改めて定義した。

証明

明らかに、Pij−1=Pij である。

ij を左から掛けると、その行列の第 i 行と第 j 行が入れ替わる。

ij を右から掛けると、その行列の第 i 列と第 j 列が入れ替わる。

よって、成り立つ。

F7

A を n 次行列とする。

λ、・・・、λ を A の相異なる固有値とする。

を、λ の代数的重複度とする。

D=diag(λ、・・・、λ、λ、・・・、λ、・・・、λ、・・・、λ) とおく。

ただし、上式において各 λ は m ずつ並んでいるとする。

つまり、D は n 次行列である。

A は対角化可能であるとする。

このとき、ある n 次正則行列 P が存在して、P−1AP=D となる。

証明

いま、A は対角化可能である。

つまり、ある正則行列 Q が存在して、Q−1AQ=D は対角行列となる。

=diag(d、・・・、d) とおく。

いま、F(x)=(x−d)・・・(x−d)=F(x) である。(※F3)

つまり、(x−d)・・・(x−d)=(x−λ)・・・(x−λ)・・・(x−λ)・・・(x−λ)である。

つまり、D と D の対角成分全体は一致する。

ただし、対角成分の順番が一致しているとは限らない。

そこで、D に基本行列を掛け、行と列の交換を行えばよい。

つまり、ある正則行列 R が存在して、R−1R=D となる。(※F6)

P=QR とおく。

いま、P−1AP=(QR)−1AQR=R−1−1AQR=R−1R=D である。

F8

A を n 次 K 行列とする。

、・・・、x∈K を、A の相異なる固有値に伴う固有ベクトルとする。

このとき、x、・・・、x は1次独立である。

証明

r=1 の場合、明らかに定理が成り立つ。

r=k の場合について定理が成り立つと仮定する。

、・・・、xk+1∈K を A の相異なる固有値 λ、・・・、λk+1 に伴う固有ベクトルとする。

いま、x、・・・、x は1次独立である。(※帰納法の仮定)

+・・・+ck+1k+1=0 ( c、・・・、ck+1∈K ) とおく。(★1)

(★1)の両辺に左から A を掛けると、cλ+・・・+ck+1λk+1k+1=0 である。(★2)

(★1)の両辺に λk+1 を掛けると、cλk+1+・・・+ck+1λk+1k+1=0 である。(★3)

(★2)から(★3)を引くと、c(λ−λk+1)x+・・・+c(λ−λk+1)x=0 である。

いま、x、・・・、x は1次独立である。

よって、c(λ−λk+1)=0、・・・、c(λ−λk+1)=0 である。

いま、固有値 λ、・・・、λk+1 は相異なる。

よって、c=0、・・・、c=0 である。

よって、(★1)より、ck+1k+1=0 である。

いま、xk+1≠0 である。(※定義:固有ベクトル)

よって、ck+1=0 である。

以上により、c=0、・・・、ck+1=0 である。

つまり、x、・・・、xk+1 は1次独立である。

F9 ( すべての固有値が相異なる ⇒ 対角化可能 )

A を n 次 K 行列とする。

A は相異なる n 個の固有値をもつとする。

このとき、A は対角化可能である。

証明

λ、・・・、λ∈K を、A の相異なる固有値とする。

、・・・、x∈K を、λ、・・・、λ に伴う固有ベクトルとする。

P=(x、・・・、x) とおく。

つまり、P は n 次行列である。

D=diag(λ、・・・、λ) とおく。

いま、AP=(Ax、・・・、Ax)=(λ、・・・、λ)=PD である。(★)

また、x、・・・、x は1次独立である。(※F8)

よって、逆行列 P−1 が存在する。

(★)の両辺に、左から P−1 を掛けると、P−1AP=D である。

つまり、A は対角化可能である。

参考

上では、n 次行列が n 個の固有値をもつ場合、つねに対角化可能であることを示した。

むろん、A が相異なる n 個の固有値をもつとは限らない。

例えば、実行列の場合、固有値が n 個より少ない可能性がある。

例えば、複素行列の場合、固有値が重複している可能性がある。

なので、対角化可能性の同値条件が気になる。

これについては後のページで示される。

ただし、その前に 『 部分空間の和 』 と 『 部分空間の直和 』 を準備することになる。