行列の対角化[2次元ver]

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復習 ( 2次行列の対角化 )

次のようにおく。



ある2次元ベクトル v(≠0) が存在して、Av=λv であるとする。

このとき、λ を 『 A の固有値 』 という。

また、v を 『 λに伴う固有ベクトル 』 という。

明らかに、v が A の固有ベクトルならば、kv ( k≠0 ) も同じ固有値に伴う固有ベクトルである。

つまり、固有ベクトルは一意ではない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A を対角化してみよう。

いま、次は同値である。

(*1) v は固有値λに伴う固有ベクトルである。

(*2) (A−λI)v=0、v≠0

ここで、(A−λI)−1 が存在するとする。(背理法)

いま、(A−λI)−1(A−λI)v=0 である。

よって、v=0 である。

これは矛盾である。

よって、v≠0 であるためには、det(A−λI)=0 である。

つまり、λ−(a+d)λ+(ad−bc)=0 である。(★1)

これを 『 A の固有方程式 』 という。

λ と λ を、(★1)の解とする。

いま、rank(A−λI)<2 ( k=1、2 ) である。(★2)

このことは次式に注意すれば分かる。



さて、(★2)より、(A−λI)x=0 は解 x=v(≠0) をもつ。

つまり、Av=λ であり、固有ベクトルが求められる。

ここで、P=(v、v) とおく。( つまり、P は2×2行列である )

いま、



ここで、P−1 が存在するとする。(★)

いま、



これで A を対角化できた。

(★)について補足

ここでは 「 P−1 が存在する 」 と仮定した。

では、どのような状況であれば P−1 は存在するのか?

一般に、λ≠λ ならば、v と v は1次独立で、P−1 が存在する。

詳しくは、以下の定理で改めて述べる。

P6 ( 2次行列の対角化〜固有値が相異なる実数ver )

A を実2次行列とする。

A の固有方程式は相異なる2つの実数解 λ と λ をもつとする。

を、λ に伴う固有ベクトルとする。( k=1、2 )

P=(v、v) とおく。

このとき、P は逆行列をもつ。

また、

証明

既に、復習(2次行列の対角化)で示したように、



後は、P−1 が存在することを示せばよい。

+c=0 と仮定する。

両辺に A を掛けると、cλ+cλ=0 である。

両辺を λ 倍して、上式を引くと、c(λ−λ)v=0 である。

よって、c=0 (※固有ベクトルの定義より v≠0 であることに注意 )

よって、c=0 である。

以上により、v と v は1次独立である。

よって、P=(v、v) は逆行列をもつ。(※線形代数)

以上により、