行列の対角化(同値条件)

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定義 ( 幾何的重複度 )

A を n 次 K 行列とする。

λ∈K を A の固有値とする。

W(λ)={ x∈K|Ax=λx } と定義する。

明らかに、W(λ)は V の部分空間である。(★)

このとき、W(λ) を 『 λに付く ( A の ) 固有空間 』 という。

また、dimW(λ) を 『 λの幾何的重複度 』 という。

(★)の証明

x、y∈W(λ) とおく。

いま、Ax=λx、Ay=λy である。

よって、A(x+y)=Ax+Ay=λx+λy=λ(x+y)である。

また、A(kx)=kAx=kλx=λ(kx)である。

よって、x+y、kx∈W(λ)である。

よって、W(λ)は V の部分空間である。

F17

A を n 次 K 行列とする。

λ∈K を A の固有値とする。

W(λ)を、λに付く固有空間とする。

このとき、dimW(λ)=n−rank(λI−A) である。

証明

B=λI−A とおく。

:K→K を B によって定められる線形変換とする。

いま、x∈W(λ)⇔L(x)=0 である。

つまり、W(λ)=KerL である。

よって、dimW(λ)=dimKerL=n−dimImL=n−rankB である。(※次元定理、D30)

F18

A を n 次 K 行列とする。

λ、・・・、λ を A の相異なる固有値とする。

このとき、W(λ)+・・・+W(λ)は直和である。

証明

+・・・+w=0 ( w∈W(λ) ) であるとする。

、・・・、w の中に 0 でないものがあるとする。

、・・・、v を、w、・・・、w の中で 0 でないもの全体とする。

いま、v、・・・、v は相異なる固有値に付く固有ベクトルである。

また、v+・・・+v=0 である。

しかし、これは矛盾である。(※F8)

よって、w=0、・・・、w=0 である。

よって、W(λ)+・・・+W(λ) は直和である。(※F15)

F19 ( 行列の対角化に対する同値条件 )

A を n 次 K 行列とする。

A は ( 重複を含めて ) n 個の固有値をもつとする。(★)

λ、・・・、λ を、A の相異なる固有値とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は対角化可能である。

(2) 任意の i=1、・・・、r に対し、λ の代数的重複度と幾何的重複度は一致する。

(3) 1≦i≦r(n−rank(λ−A))=n

(4) =W(λ)□・・・□W(λ

補足

A が複素行列である場合、条件(★)は自動的に満たされる。(※F5の補足)

(1)⇒(2)の証明

(1)を仮定する。

を λ の代数的重複度とする。

つまり、n=m+・・・+m である。

D=diag(λ、・・・、λ、・・・、λ、・・・、λ) とおく。

上式の右辺において、各 λ は m 個だけ並んでいるとする。

つまり、D は n 次行列である。

いま、ある正則行列 P が存在して、P−1AP=D となる。(※F7)

P=(p(1)、・・・、p(1)、・・・、p(r)、・・・、p(r)) とおく。

いま、PD=AP である。

よって、p(k)、・・・、p(k)∈W(λ)である。

( D が対角化行列であることに注意して PD=AP を展開すれば分かる )

いま、P は正則行列である。

よって、p(k)、・・・、p(k) は1次独立である。(※D11)

よって、dimW(λ)≧m である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

dimW(λ)>m と仮定する。(背理法)

いま、dimW(λ)≧m+1 である。

よって、1≦i≦rdimW(λ)≧1≦i≦k−1+(m+1)+k+1≦i≦r=(1≦i≦r)+1=n+1 である。

一方、1≦i≦rdimW(λ)=dim(W(λ)□・・・□W(λ))である。(※F18、F15)

よって、dim(W(λ)□・・・□W(λ))≧n+1 である。

一方、W(λ)□・・・□W(λ) は の部分空間である。

これは矛盾である。

よって、dimW(λ)≦m である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、dimW(λ)=m である。

(2)⇒(3)の証明

明らかである。(※F17)

(3)⇒(4)の証明

いま、n−rank(λ−A)=dimW(λ)である。(※F17)

よって、1≦i≦rdimW(λ)=n である。

よって、dim(W(λ)□・・・□W(λ))=n である。(※F15)

よって、=W(λ)□・・・□W(λ) である。(※D15)

(4)⇒(1)の証明

(4)を仮定する。

を W(λ)⊂ の基底とする。

、・・・、S の列ベクトルを並べて行列 P を構成する。

つまり、P は n 次行列である。

D=diag(λ、・・・、λ、・・・、λ、・・・、λ) とおく。

ただし、上式の右辺において、各 λ は m 個だけ並んでいるとする。

つまり、D は n 次行列である。

いま、AP=PD である。(★)

また、S∪・・・∪S の基底である。(※F16)

よって、P は正則行列である。(※D11)

つまり、P−1 が存在する。

(★)の両辺に P−1 を左から掛けると、P−1AP=D である。

つまり、A は対角化可能である。