行列の表記(対角行列、単位行列、零行列)

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定義 ( 行列 )

m と n を自然数とする。

次のように m×n 個の数を考える。



これらの数を次のように並べる。



このような表を 『 m×n 行列 』 という。

これを A=(aij) で表す。

ij を 『 行列 A の ( i、j ) 成分 』 という。

行数と列数が等しい場合、その行列を 『 正方行列 』 という。

行数(列数)が n の正方行列を 『 n次行列 』 という。

m×n 行列について、横並びの数を上から順に、第1行、第2行、・・・、第 m 行という。

m×n 行列について、縦並びの数を左から順に第1列、第2列、・・・、第 n 列という。

定義 ( 列ベクトルによる表示 )

次のような行列 A を考える。



ここで、次のようにおく。



これを 『 列ベクトル 』 という。

このとき、行列 A を次のように表す。

つまり、この A=(a、・・・、a)は1×n行列ではなくて、m×n行列である。

誤解を防ぐために a、・・・、a を太字で表すこともある。

定義 ( 行ベクトルによる表示 )

次のような行列 A を考える。



ここで、次のようにおく。



これを 『 行ベクトル 』 という。

このとき、行列 A を次のように表す。

定義 ( 対角行列 )

A=(aij)を n 次行列とする。

対角線上に並ぶ成分 a11、・・・、ann を 『 行列 A の対角成分 』 という。

対角成分以外の成分が全て 0 になっている行列を 『 対角行列 』 という。

対角成分が a11、・・・、ann である対角行列を diag(a11、・・・、ann) で表す。

つまり、

定義 ( 単位行列 )

A を n 次正方行列とする。

A は対角行列であり、その対角成分は全て1であるとする。

このとき、A を 『 単位行列 』 といい、これを I で表す。

例えば、

参考

単位行列は次のように表せる。



δij は 『 クロネッカのデルタ 』 と呼ばれるもので、次のように定義される。



大学の数学ではしばしば登場する記号である。

定義 ( 零行列 )

成分が全て 0 である行列を 『 零行列 』 といい、これを O で表す。

とくに、O が m×n 行列であることを明示したい場合は Om、n で表す。

例えば、

定義 ( 行列のスカラー倍 )

A=(aij) を m×n 行列とする。

A の各成分を k 倍して得られる行列を kA で表す。

つまり、