行列、行列の計算

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定義 ( 行列 )

m、n を自然数とする。

次のように m×n 個の数を考える。



これらの数を、次のように、縦に m 個、横に n 個並べる。



このような表を 『 m×n 行列 』 という。

また、A=(aij)と表すこともある。

ij を 『 行列 A の ( i、j ) 成分 』 という。

とくに、行数と列数が等しいとき、その行列を 『 正方行列 』 という。

行数(列数)が m の正方行列を 『 m次行列 』 という。

m×n 行列について、横並びの数を上から順に、第1行、第2行、・・・、第 m 行という。

m×n 行列について、縦並びの数を左から順に第1列、第2列、・・・、第 n 列という。

参考

『 行 』 と 『 列 』 を混同する人は多いと思われる。

どちらが横で縦だか分からなくなってしまう。

その場合は、次のように考えればよい。



ちなみに、行は英語で 『 row 』 で、列は英語で 『 column 』 である。

この場合は、次のように考えればよい。



ちなみに、column には 『 柱 』 という意味もある。

定義 ( 行列の相等 )

A、B を m×n 行列とする。

次のようにおく。



任意の i、j に対し、次が成り立つとする。



このとき、「 A と B は等しい 」 といい、A=B と表す。

注意

A を1×n 行列とする。

このとき、次のように2通りの表記法を採用する。

定義 ( 行列の表記〜その1 )

次のような行列 A を考える。



ここで、次のようにおく。



このとき、行列 A を次のように表す。

つまり、この A=(a、・・・、a)は1×n行列ではなくて、m×n行列である。

誤解を防ぐために a、・・・、a を太字で表すこともある。

定義 ( 行列の表記〜その2 )

次のような行列 A を考える。



ここで、次のようにおく。



このとき、行列 A を次のように表す。

定義 ( 行列のスカラー倍 )

A=(aij)を m×n 行列とする。

A の各成分を k倍 して得られる行列を kA と表す。

つまり、

定義 ( 対角行列 )

A=(aij)を n 次行列とする。

対角線上に並ぶ成分 a11、・・・、ann を 『 行列 A の対角成分 』 という。

対角成分以外の成分が全て 0 になっている行列を 『 対角行列 』 という。

対角成分が a11、・・・、ann である対角行列を diag(a11、・・・、ann)と表す。

つまり、

定義 ( 単位行列 )

A を n 次正方行列とする。

A は対角行列であり、その対角成分は全て1であるとする。

このとき、A を 『 単位行列 』 という。

また、これを I と表す。

例えば、

参考

単位行列は次のように表せる。



δij は 『 クロネッカのデルタ 』 と呼ばれるもので、次のように定義される。



大学の数学ではしばしば登場する記号である。

定義 ( 零行列 )

成分が全て 0 である行列を 『 零行列 』 といい、O と表す。

とくに、O が m×n 行列であることを明示したい場合には、Om、n と表す。

例えば、

定義 ( 行列の和 )

行列 A、B を次のようにおく。



ここで、次のような行列 C を定義する。



このとき、C を 『 A と B の和 』 という。

例えば、次のように計算できる。

行列の和に関する説明はとくに問題ないだろう。

一方、行列の積は少しだけ面倒である。

まずは、2次行列について、行列の積を説明しよう。

定義 ( 行列の積〜2次行列の場合 )

行列 A、B を次のようにおく。



このとき、A と B の積 AB は次のように計算される。



例えば、行列 A、B を次のようにおいてみよう。



このとき、積 AB を計算すると、次のようになる。

参考

一見すると、行列の積に関する計算は、数字がランダムに並んだものに見えてしまうかもしれない。

しかし、単純な法則性がある。

それは行列 A と B に補助線を引けば分かるであろう。

実際に引いてみると、



よく観察すれば、行列の積は補助線に沿って計算されていることが分かるであろう。

行列の積は実際に計算して慣れるのがよいであろう。

そこで、以下に例題を用意しておく。

例題

次の行列の積を計算せよ。

解答





次に、同じことを3次行列についても考えてみよう。

定義 ( 行列の積〜3次行列の場合 )

行列 A、B を次のようにおく。



このとき、A と B の積 AB は次のように計算される。

それでは例題を以下に用意しておく。

例題

次の行列の積を計算せよ。

解答





4次行列、5次行列の計算についての計算方法も見当がつくであろう。

さらに、同じような計算が正方行列以外に対しても行える。

まだ説明はしていないが、読者は次の例題の計算もこなせるであろう。

例題

次の行列の積を計算せよ。



解答







以上の説明を一般化すると、次のようになる。

定義 ( 行列の積 )

行列 A、B を次のようにおく。



ここで、次のような行列 C を定義する。



このとき、C を 『 A と B の積 』 という。

つまり、A の列数と B の行数が等しいときに限り、行列の積は計算できる。



逆に言えば、A の列数と B の行数が異なる行列については、積が計算できない。

参考

試しに以下の行列計算を行ってみた。

行列の成分が端に追いやられていくようでおもしろい。