表現行列と基底変換行列の基本的性質

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E5

A を m×n 型の K 行列とする。

:K→K を A によって定められる線形写像とする。

S を K の自然基底とする。

T を K の自然基底とする。

このとき、L の ( S と T に関する ) 表現行列は A である。

証明

S={ e、・・・、e } とおく。

T={ e’、・・・、e’ } とおく。

A=(aij)とおく。

いま、(Ae、・・・、Ae)=(e’、・・・、e’)A である。

つまり、A は、L の ( S と T に関する ) 表現行列である。(※E1)

E6

恒等変換の表現行列は単位行列である。

補足

つまり、基底に取り方に依存せず、つねに単位行列になるという意味である。

証明

明らかである。(※E1)

E7 ( 補題 )

V を K 上 m 次元ベクトル空間とする。

{ v、・・・、v } を V の基底とする。

A、B を m×n 型 K 行列とする。

(v、・・・、v)A=(v、・・・、v)B であるとする。

このとき、A=B である。

証明

A=(aij)、B=(bij) とおく。

j∈{ 1、・・・、m } とおく。

いま、1≦i≦mij1≦i≦mij である。

よって、1≦i≦m(aij−bij)v=0 である。

いま、{ v、・・・、v } は V の基底である。

よって、aij−bij=0 である。

よって、aij=bij である。

E8

P を S から S’ への基底変換行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) P は正則行列である。

(2) P−1 は S’ から S への基底変換行列である。

(1)の証明

S={ v、・・・、v }、S’={ v’、・・・、v’ } を V の基底とする。

いま、各 v は v’、・・・、v’ の1次結合で表せる。

よって、ある n 次行列 Q が存在して、(v、・・・、v)=(v’、・・・、v’)Q となる。(★)

よって、(v、・・・、v)=(v’、・・・、v’)Q=(v、・・・、v)PQ である。

左辺は (v、・・・、v)I と表せる。

つまり、(v、・・・、v)I=(v、・・・、v)PQ である。

よって、I=PQ である。(※E7)

よって、P は正則行列である。

(2)の証明

(1)の証明より、Q=P−1 である。

また、(★)より、Q は S から S’ への基底変換行列である。(※E3)

E9

S={ p、・・・、p } を K の基底とする。

P=(p、・・・、p) とおく。

このとき、P は自然基底から S への基底変換行列である。

補足

定義(基底変換行列)は一般のベクトル空間 V に対する定義である。

今回は V=K として考えていることに注意。

証明

E={ e、・・・、e } を K の自然基底とする。

いま、(p、・・・、p)=(e、・・・、e)P である。

よって、P は E から S への基底変換行列である。

E10

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

W を K 上の m 次元ベクトル空間とする。

S、S’を V の基底とする。

T、T’を W の基底とする。

P を、S から S’ への基底変換行列とする。

Q を、T から T’ への基底変換行列とする。

f:V→W を線形写像とする。

A を、f の ( S と T に関する ) 表現行列とする。

このとき、f の ( S’ と T’ に関する ) 表現行列は Q−1AP である。

証明

S={ v、・・・、v }、S’={ v’、・・・、v’ } とおく。

T={ w、・・・、w }、T’={ w’、・・・、w’ } とおく。

いま、(f(v)、・・・、f(v))=(w、・・・、w)A である。

また、(v’、・・・、v’)=(v、・・・、v)P である。(★)

また、(w’、・・・、w’)=(w、・・・、w)Q である。

(★)より、(f(v’)、・・・、f(v’))=(f(v)、・・・、f(v))P である。

よって、(f(v’)、・・・、f(v’))=(w、・・・、w)AP=(w’、・・・、w’)Q−1AP である。

つまり、f の ( S’ と T’ に関する ) 表現行列は Q−1AP である。(※E1)

E11

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

S、T を V の基底とする。

A を、S に関する f の表現行列とする。

B を、T に関する f の表現行列とする。

P を、S から T への基底変換行列とする。

このとき、B=P−1AP である。

証明

明らかである。(※E10)

E12

A を n 次 K 行列とする。

T={ p、・・・、p } を K の基底とする。

P=(p、・・・、p) とおく。

つまり、P は n 次行列である。

:K→K を A によって定められる線形変換とする。

このとき、L の ( T に関する ) 表現行列は P−1AP である。

証明

S を K の自然基底とする。

いま、A は、L の ( S に関する ) 表現行列である。(※E5)

また、P は S から T への基底変換行列である。(※E9)

よって、L の ( T に関する ) 表現行列は P−1AP である。(※E11)