表現行列

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定義 ( 表現行列 )

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

W を K 上の m 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v } を V の基底とする。

T={ w、・・・、w } を W の基底とする。

f:V→W を線形写像とする。

いま、各 f(v)は w、・・・、w の1次結合で表される。

そこで、次のようにおく。



ここで、A=(aij) とおく。

つまり、A は m×n 行列である。

このとき、A を 『 f の ( S と T に関する ) 表現行列 』 という。

定義の式を実際に書きならべると、



つまり、表現行列 A=(aij) はこれらの係数を並べたものである。

ただし、係数の順番が転置の関係になっていることに注意。

注意

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v } を V の基底とする。

f:V→V を線形変換とする。

A を、f の ( S と S に関する ) 表現行列とする。

このとき、A を 『 f の ( S に関する ) 表現行列 』 という。

つまり、これは単に名称を簡略化させただけである。

E1 ( 表現行列に対する同値条件〜その1 )

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

W を K 上の m 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v } を V の基底とする。

T={ w、・・・、w } を W の基底とする。

f:V→W を線形写像とする。

A を m×n 行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は、f の ( S と T に関する ) 表現行列である。

(2) (f(v)、・・・、f(v))=(w、・・・、w)A

証明

明らかである。(※定義:表現行列)

E2 ( 表現行列に対する同値条件〜その2 )

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

W を K 上の m 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v } を V の基底とする。

T={ w、・・・、w } を W の基底とする。

A を m×n 行列とする。

:K→K を A によって定められる線形写像とする。

φ:V→K を S によって定められる同型写像とする。

ψ:V→K を T によって定められる同型写像とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は f の ( S と T に関する ) 表現行列である。

(2) L=ψ*f*φ−1

補足

図示すると、

証明

(1)を仮定する。

{ e、・・・、e } を K の自然基底とする。

x=(x、・・・、x)∈K とおく。

いま、φ−1(x)=1≦i≦n である。

よって、次が成り立つ。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

{ e、・・・、e } を K の自然基底とする。

いま、



つまり、A は、f の ( S と T に関する ) 表現行列である。