基本変形、rank

サイトのTOP→理系インデックス
線形代数のTOP→線形代数インデックス




定義 ( 基本変形 )

行列に対し、次のような操作を 『 行基本変形(左基本変形)』 という。

(1) 2つの行を入れ替える。

(2) ある行に0でない数をかける。

(3) ある行に他の行の定数倍を加える。

行列に対し、次のような操作を 『 列基本変形(右基本変形)』 という。

(4) 2つの列を入れ替える。

(5) ある列に0でない数をかける。

(6) ある列に他の列の定数倍を加える。

行基本変形と列基本変形を合わせて、『 基本変形 』 という。

次に、左基本変形や右基本変形の操作は行列の演算で置き換えることができることを説明する。

そのとき、『 左 』 や 『 右 』 といった名称の由来も分かるであろう。

定義 ( 基本行列〜その1 )

単位行列の ( i、i )成分と ( j、j )成分 を 0 に変更する。

さらに、( i、j )成分と ( j、i )成分を1に変更する。

このような行列を P( i、j )と表す。

これを行列の左からかけると、その行列の第 i 行と第 j 行が入れ替わる。

右からかけると、第 i 列と第 j 列が入れ替わる。

定義 ( 基本行列〜その2 )

単位行列の ( i、i )成分を c に変更したものを Q( i ; c )と表す。

これを行列の左からかけると、その行列の第 i 行が c 倍される。

右からかければ、第 i 列が c 倍される。

定義 ( 基本行列〜その3 )

単位行列の ( i、j ) 成分を c に変更した行列を R( i、j ; c )と表す。

これを行列の左からかけると、その行列の第 i 行に第 j 行の c 倍が加わる。

右からかけると、第 j 列に第 i 列の c 倍が加わる。

定義 ( 基本行列 )

以上で定義した P( i、j )、Q( i ; c )、R( i、j ; c )を 『 基本行列 』 という。

つまり、行列の基本変形は基本行列をかけることによって成される。

実際に P について確認してみると、

C1

(1) 基本行列は正則行列である。

(2) 基本行列の逆行列は基本行列である。

(1)の証明

明らかに、|P ( i、j )|=−1、|Q ( i ; c )|= c、|R ( i ,j ; c ) |= 1 である。(★)

つまり、行列式の値は 0 ではない。

よって、基本行列はいずれも正則行列である。(※B15)

(2)の証明

明らかである。(※定義:基本行列)

C2

A を m×n 行列とする。

A に基本変形を繰り返し行い、行列 B を得たとする。

このとき、ある m 次正則行列 P と n 次正則行列 Q が存在して、B=PAQ となる。

証明

左からかけた基本行列を P、・・・、P とする。

右からかけた基本行列を Q、・・・、Q とする。

つまり、B=P・・・PAQ・・・Q である。

P=P・・・P とおく。

Q=Q・・・Q とおく。

いま、P、Q は正則である。(※C1、A10)

また、B=PAQ である。

C3

A を n 次行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は正則である。

(2) ある n 次行列 B が存在して、AB=I かつ BA=I となる。

(3) ある n 次行列 B が存在して、AB=I となる。

(4) ある n 次行列 B が存在して、BA=I となる。

(1)⇔(2)の証明

これは定義(正則)そのままである。

(2)⇔(3)の証明

(2)⇒(3)は明らかである。

(3)を仮定する。

いま、|A||B|=|AB|=|I|=1 である。(※B8)

よって、|A|≠0 である。

よって、A は正則である。(※B15)

よって、逆行列 A−1 が存在する。

そこで、AB=I の両辺に左から A−1 をかけると、B=A−1 である。

よって、BA=I である。

(2)⇔(4)の証明

これは(2)⇔(3)の証明と同様である。

定義 ( 標準形 )

次のように定義する。



このとき、Fm、n(r)を 『 標準形 』 という。

既に前のページでも述べたように、各成分の右下に書かれている添字は行列の型を表している。

例えば、Om−r、r は(m−r)×r 型の零行列である。

r=m=n のとき、Fm、n(r) は単位行列 I になる。

参考 ( 第1行と第1列を一掃する )

A を行列とする。

このとき、A に対して基本変形を行えば、次の形に変形できる。

これは証明を行わなくても、直観的に明らかである。

例えば、次のような行列を考えてみよう。



1行と2行を交換すると、



3行に(−1)をかけ、これを1行に加えると



このように(1、1)成分に0でない成分をもってくることがポイントである。

この状態になれば、1行と1列のその他の成分を一掃することができる。

実際にやってみよう。

1行に(−2)をかけ、これを3行に加えると、



1列に(−1)をかけ、これを2列に加えると、



1列に(−3)をかけ、これを3列に加えると、



これで目的の形になった。

C4

A を m×n 行列とする。

A に対し、基本変形を繰り返し行うことによって標準形 Fm,n(r)に変形できる。

しかも、r は基本変形の仕方に依存しない。

証明

A=O の場合、A=Fm、n(0) となって成り立つ。

A≠O の場合、A には 0 でない成分が少なくとも1つ存在する。

よって、行と列の交換を繰り返せば、(1,1)成分を 0 でない値にすることができる。

さらに基本変形を行えば、次の形に変形できる。



いま、第1行、第1列以外の成分が全て 0 であれば、これは Fm、n(1) である。

そうでない場合は、先と同様の変形を施して、次の形に変形できる。



以後、同様の作業を繰り返せば、任意の m×n 行列 A を次の形に変形できる。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、r は変形の仕方に依存しないことを示す。

まず、基本変形によって A から2通りの標準形 Fm、n(r) 、Fm、n(s) が得られたと仮定する。

さらに、r≦s とする。( 以降、F(r)、F(s)として略記する )

ここで、A から F(r)を得るときに行った基本変形と逆の手順を辿る。

すると、F(r)から A を得ることができる。

F(s)についても同様である。

つまり、F(r)と F(s)は互いに基本変形によって変形できる。

よって、ある正則行列 P,Q が存在して、F(s)=PF(r)Q となる。(※C2)

11 と Q11 を r×r 行列として次のように分割する。



いま、



よって、



r≦s と仮定しているから、

(*1) P1111=I

(*2) P1112=Or、n−r

(*3) P2111=Om−r、r

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)について補足説明

1111 は r×r 行列である。

F(s)では 1 が s(≧r)個だけ対角成分に並んでいるのだから、

少なくとも P1111=I であることが分かる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)より、P11、Q11 は正則である。(※C3)

(*2)の両辺に左から P11−1 をかけると、Q12=Or、n−r である。

(*3)の両辺に右から Q11−1 をかけると、P21=Om−r、r である。

よって、P2112=Om−r、n−r である。

よって、r=s である。

よって、r は基本変形の仕方に依存しない。

定義 ( ランク )

上の定理で確定される r を 『 行列 A の rank 』 といい、rankA と表す。

rank を 『 階数 』 と呼ぶこともある。

C5

A を n 次行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A が正則である。

(2) rankA=n

証明

(1)を仮定する。

ある正則行列 P、Q が存在して、F(r)=PAQ となる。(※C4、C2)

A が正則であるから、PAQ も正則である。(※A10)

よって、F(r)も正則である。

よって、|F(r)|≠0 である。(※B15)

F(r)について、ある行の成分が全て 0 だとすると、|F(r)|=0 となる。(※B6(2))

よって、F(r)の中に全ての成分が 0 である行は存在しない。

よって、F(r)=F(n)=I である。

よって、rankA=n である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

ある正則行列 P、Q が存在して、F(r)=PAQ となる。(※C4、C2)

仮定より、F(r)=F(n)=I である。

よって、A=P−1F(r)Q−1=P−1−1=P−1−1 である。

いま、P−1 と Q−1 は正則である。

よって、A は正則である。(※A10)

C6

次が成り立つ。

(1) A を n 次正則行列とする。左基本変形のみを行うことによって、A を I に変形できる。

(2) A を n 次正則行列とする。右基本変形のみを行うことによって、A を I に変形できる。

(3) 任意の正則行列は、基本行列の積として表すことができる。

(4) 行列に基本変形を行っても、その行列の rank は変化しない。

(5) 行列に正則行列をかけても、その行列の rank は変化しない。

(6) 任意の行列 A について、rankA=rankA が成り立つ。

(1)の証明

いま、行列 A は正則である。

よって、行列 A に左基本変形と右基本変形を用いて、A を I に変形できる。(※C5)

左基本変形で用いる基本行列を P、・・・、P とし、

右基本変形で用いる基本行列を Q、・・・、Q とすると、



また、基本行列には逆行列が存在する。(※C1)

そこで、上式の両辺に右から Q−1、・・・、Q−1 をかけると、



さらに、両辺に左から Q、・・・、Q をかけると、



これは、左基本変形のみで A を I に変形できることを意味している。

(2)の証明

(1)と同様。

(3)の証明

A を正則行列とする。

上の(1)と同様に、



これを変形すると、



よって、A は基本行列の積である。(※C1)

(4)の証明

ある行列 A に基本変形を行って B を得たとする。

さらに、B に基本変形を行って、Fm、n(r) を得たとする。

これは結局、A から Fm、n(r) を得たことと同じであるから、rankA=rankB である。

(5)の証明

上の(3)、(4)より、成り立つ。

(6)の証明

ある基本行列 P、・・・、P と Q、・・・、Q によって、次が成り立つようにできたとする。



両辺の転置をとると、



A8より、



また、m、n(r)=Fn、m(r) であるから、



明らかに、、・・・、、・・・、 はそれぞれ基本行列である。

よって、rankA=rankA=r である。

参考

次のことに注意しよう。(※C6、B6)

(*1) 行(列)を交換しても rank は変化しないが、行列式の値は−1倍になる。

(*2) 行(列)をk倍しても rank は変化しないが、行列式の値はk倍になる。

(*3) 行(列)をk倍して他の行(列)に加えても rank は変化しない。行列式も変化しない。

つまり、(*3)の操作だけは、rank も行列式も変化しないのである。

参考

ところで、上の話は問題を作製する側にとっても便利である。

例えば、行列式の値がちょうど 1 になるような行列を作りたいとする。

そんなときは、まず、次のような行列を用意する。



ここから適当に、行(列)を定数倍して他の行(列)に加えて何かしらの行列を作る。



一見すると、元の行列とは別物である。

しかし、行(列)を定数倍して他の行(列)に加えるという操作は、行列式の値を変化させない。

よって、この行列式は 1 になる。

この手の行列は逆行列も簡潔になる。

後は 「 この行列の逆行列を求めよ 」 と書き添えれば、問題の完成である。