基底変換行列

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定義 ( 基底変換行列 )

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v }、S’={ v’、・・・、v’ } を V の基底とする。

このとき、各 v’ は v、・・・、v の1次結合で表される。

そこで、次のようにおく。



ここで、P=(pij) とおく。

つまり、P は n×n 行列である。

このとき、P を 『 S から S’ への基底変換行列 』 という。

E3 ( 基底変換行列に対する同値条件〜その1 )

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v }、S’={ v’、・・・、v’ } を V の基底とする。

P を n×n 行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) P は S から S’ への基底変換行列である。

(2) (v’、・・・、v’)=(v、・・・、v)P

証明

明らかである。(※定義:基底変換行列)

E4 ( 基底変換行列に対する同値条件〜その2 )

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v }、S’={ v’、・・・、v’ } を V の基底とする。

P を n×n 行列とする。

:K→K を P によって定められる線形変換とする。

φ:V→K を S によって定められる同型写像とする。

ψ:V→K を S’ によって定められる同型写像とする。

このとき、次は同値である。

(1) P は S から S’ への基底変換行列である。

(2) L=φ*ψ−1

証明

(1)を仮定する。

いま、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、φ*I*ψ−1=L と見なせる。( I は V から V への恒等写像 )

つまり、P は I の ( S’ と S に関する ) 表現行列である。(※E2)

( 「 S と S’ に関する 」 ではなくて 「 S’ と S に関する 」 であることに注意 )

よって、



よって、



つまり、P は S から S’ への基底変換行列である。

参考

基本的に、表現行列や基底変換行列に関する性質は E1〜E4 から導かれる。