連立1次方程式

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定義 ( 同次、非同次 )

次のような形の連立1次方程式を 『 同次連立1次方程式 』 という。



また、次のような形の連立1次方程式を 『 非同次連立1次方程式 』 という。

定義 ( 係数行列、拡大係数行列 )

次のような非同次連立1次方程式を考える。



ここで、次のようにおく。



いま、上の連立1次方程式は、次のように表される。



このとき、A を 『 係数行列 』 という。

また、次のように定義する。



このとき、(A、b) を 『 拡大係数行列 』 という。

参考

とくに、同次連立1次方程式は次のように表される。

C7

拡大係数行列 (A、b) を次のようにおく。



(1) (A、b)に行基本変形を行うことで、次の形に変形できる。



(2) このとき、r=rankA =rankA’である。

(1)証明

A=O ならば既に目的の形であるとみなしてよい。

A≠O ならば A には 0 でない成分が少なくとも1つ存在する。

よって、(A、b) について行基本変形を行うことで、A の(1、1)成分が 0 でないようにできる。

さらに行基本変形を行えば、(A、b) を次のように変形できる。



ここで、B=O ならば、目的の形である。

≠O ならば、B には 0 でない成分が少なくとも1つ存在する。

よって、行基本変形を行うことで、B の (1、1)成分が 0 でないようにできる。

さらに行基本変形を行えば、(A、b)を次のように変形できる。



同様の作業を繰り返せば、最終的に、

(2)証明

A’の第(r+1)列から第 n 列までの成分は基本変形によって消去できる。

( 第1列から第 r 列までの成分を定数倍して引くことで消去できる )

よって、A’から標準形 Fm、n(r) を作ることができて、rankA’=r である。

仮定より、(A、b)に基本変形を行うことによって、(A’、b’) を得た。

よって、同じ基本変形を行うことによって、A から A’を得ることもできる。

よって、rankA=rankA’である。(※C6(4))

よって、r=rankA である。

C8 ( 掃き出し法による連立1次方程式の解法 )

次のような連立1次方程式を考える。



この連立1次方程式の拡大係数行列を(A、b)とする。

(A、b)に行基本変形を行うことで、次を得たとする。(※C7)



これを書き直せば、



明らかに、(*1)と(*2)の連立1次方程式は同じ解をもつ。(★)

上式を変形すると、



明らかに、βr+1=・・・=β=0 が成り立つ場合のみ、この連立1次方程式は解をもつ。

ここで、xr+1、・・・、x を任意定数 kr+1、・・・、k に置き換えて次のようにおく。



このとき、連立1次方程式の一般解は次のように表される。



( kr+1、・・・、k は任意定数 )

つまり、n 個の未知数のうち、(n−r)個 の未知数 xr+1、・・・、x は自由に決めることができる。

そこで、n−r を 『 解の自由度 』 という。

r=rankA であるから、解の自由度は n−rankA である。(※C7)

また、上記の操作によって解を求める方法を 『 掃き出し法 』 という。

補足

つまり、これは連立1次方程式の一般解である。

証明

証明は定理の中で述べられているので必要ない。

補足

r=n ( つまり、本質的な式の数と、未知数の数が等しい ) とすると、



よって、



つまり、解は一意に定まる。

例題

次の連立1次方程式を掃き出し法によって解け。

解答

拡大係数行列に直すと、



行基本変形を行うと、



よって、拡大係数行列の rank は 2 である。

また、一般解は次のように表される。(※C8)



整理すると、

参考

C8 では、行基本変形のみを仮定した。

実は、列の交換 ( ただし最右辺の列 b は交換しない ) を行ってもよい。

ただし、最後には交換した列を戻す必要がある。

行基本変形では行を定数倍したり、加減したり、入れ替えたりする。

この作業は、連立1次方程式の式を定数倍したり、加減したり、入れ替えたりする作業と同じである。

しかし、列の交換には違和感を感じる人がいるかもしれない。

列を入れ替えることは、連立1次方程式で言えば、未知数の順番を勝手に入れ替えることと同じである。

それは、連立1次方程式の解法としてはやってはいけないことのように思える。

しかし、問題はない。

なぜなら、解全体としての値は変化しないからである。

具体的に、次の連立1次方程式に注目してみよう。



この連立1次方程式を行列に直すと、



ここで、第2列と第3列を入れ替える。



そして、これを連立1次方程式に直すと、



連立1次方程式(*1)と(*2)の解を比較してみると、



このように、解全体としての値は変わらないのである。

ただし、問題を解くときには(なるべく)列の交換を行わずに行基本変形だけで問題を解くのがよいだろう。

そうしないと、後々未知数の順番を元に戻さなければならないので作業が面倒になってしまうのである。

C9

Ax=b を連立1次方程式とする。

このとき、次は同値である。

(1) Ax=b は解をもつ。

(2) rankA=rank(A、b)である。

証明

既に示されている。(※C8)

定義 ( 自明な解 )

Ax=0 は明らかに x=0 を解にもつ。

これを 『 自明な解 』 という。

C10

A を m×n 行列とする。

このとき、rankA<n ならば、連立1次方程式 Ax=0 は自明でない解をもつ。

証明

既に示されている。(※C8)

しかし、改めて説明しておこう。

仮定より、(n−rankA)>0 である。

よって、Ax=0 は、解の中に ( n−rankA )個 の任意定数をもつ。(※C8)

よって、これは自明でない解である。

C11

A を m×n 行列とする。

このとき、次の(1)、(2)は同値である。

(1) Ax=0 が自明な解のみをもつ。

(2) rankA=n である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A を n 次行列とする。

このとき、(3)、(4)は同値である。

(3) Ax=0 が自明な解のみをもつ。

(4) A が正則である。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

いま、Ax=0 は解に任意定数をもたない。

よって、n−rankA=0 である。(※C8)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、Ax=0 は定まった解のみをもつ。(※C8)

x=0 は Ax=0 を満たすから、x=0 がその解である。

(3)⇔(4)の証明

上の(1)、(2)の同値性より明らかである。(※C5)

補足

(4)⇒(3)を直接的に示すと、次のようになる。

(4)を仮定する。

いま、A は逆行列をもつ。

そこで、Ax=0 の両辺に、左から A−1 を掛けると、x=0 である。

つまり、Ax=0 は自明な解のみをもつ。

C12

A を n 次行列とする。

次は同値である。

(1) A は正則である。

(2) 任意の n×1行列 b に対し、ある x が存在して、Ax=b となる。

(3) Ax=Ax ならば、x=x である。

(1)⇔(2)

(1)を仮定する。

A が正則であるから A−1 が存在する。

ここで、x=A−1b とおく。

いま、Ax=b である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、任意の n×1行列 b に対し、Ax=b が解をもつ。

ここで、次のようにおく。



仮定より、次の方程式は解をもつ。



この解をそれぞれ x とし、次のようにおく。



このとき、



よって、A は正則である。(※C3)

(1)⇔(3)

(1)を仮定する。

Ax=Ax の両辺に、左から A−1 をかけると、x=x である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(3)を仮定する。

(3)はAx=b の解が一意であることを意味している。

よって、b=0 とすれば、Ax=0 は自明な解のみをもつ。

よって、A は正則である。(※C11)

C13

次のような非同次連立1次方程式を考える。



これに対して、定数項 b を 0 として、次のような同次連立1次方程式を考える。



(*1)の解の1つを x とする。

このとき、{ x|x は(*1)の解 }={ x+y|y は(*2)の解 } である。

補足

ここでは少し集合論の表記を用いている。

{ ○|〜 } と書いた場合、これは条件〜を満たす○の集合を考えているのである。

例えば、{ x|x は(*1)の解 }は、(*1)の解 x 全体を意味している。

証明

x を(*1)の解とする。

ここで、x−x=y とおく。

いま、Ay=A(x−x)=Ax−Ax=b−b=0 である。

よって、y は(*2)の解である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

y を(*2)の解とする。

いま、A(x+y)=Ax+Ay=b+0=b である。

よって、x+y は(*1)の解である。