行列によって定められる線形写像、基底によって定められる同型写像

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注意

以下、K の元を成分とする行列を 『 K行列 』 と呼ぶことにする。

ただし、K= または である。

定義 ( 行列によって定められる線形写像 )

A を m×n 型の K 行列とする。

:K→K を L(x)=Ax で定義する。

このとき、L を 『 A によって定められる線形写像 』 という。

定義 ( 基底によって定められる同型写像 )

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v } を V の基底とする。

{ e、・・・、e } を K の自然基底とする。

次のように定義する。



このとき、φを 『 S によって定められる同型写像 』 という。

上の定義では v、・・・、v に対してのみφの値を定めた。

一見すると、V の他の元に対する値は定まっていないように視えるかもしれない。

しかし、これだけで任意の v∈V に対して値を定めたことになる。

実際、



よって、写像φは一意に定まる。

また、明らかにφは同型写像である。

むろん、これは V と K が同型であることを意味する。

このことは既に述べた。(※D21)