線形変換の対角化(準備)

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定義 ( 線形変換の固有値 )

V を K 上のベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

λ∈K とおく。

ある v∈V ( ただし v≠0 ) が存在して、Av=λv となるとする。

このとき、λを 『 f の固有値 』 という。

また、v を 『 λに伴う ( f の ) の固有ベクトル 』 という。

定義 ( 固有空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

λ∈K を f の固有値とする。

W(λ)={ v∈V|f(v)=λv } と定義する。

明らかに、W(λ) は V の部分空間である。(★)

このとき、W(λ) を 『 λに伴う ( f の ) 固有空間 』 という。

また、dimW(λ)を 『 λの幾何的重複度 』 という。

(★)の証明

v、w∈W(λ) とおく。

いま、f(v)=λv、f(w)=λw である。

よって、f(v+w)=f(v)+f(w)=λv+λw=λ(v+w)である。

また、f(kv)=kf(v)=kλv=λ(kv)である。

よって、v+w、kv∈W(λ)である。

よって、W(λ)は V の部分空間である。

定義 ( f 不変 )

V を K 上のベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

W を V の部分空間とする。

f(W)⊂W であるとする。

このとき、「 W は f 不変である 」 という。

G1

f の固有空間は f 不変である。

証明

λを f の固有値とする。

W(λ)をλに伴う ( f の ) 固有空間とする。

v∈W(λ) とおく。

いま、f(f(v))=f(λv)=λf(v) である。

よって、f(v)∈W(λ) である。

つまり、f(W(λ))⊂W(λ)である。

G2

V を K 上のベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

P(X)を、X を変数とする K 係数多項式とする。

v∈W(λ)とおく。

このとき、P(f)(v)=P(λ)v である。

補足

例えば、P(X)=X+1 とする。

すると、P(f)=f+I ( I は恒等変換 ) である。

よって、P(f)(v)=(f+I)(v)=f(v)+I(v)=f(f(v))+v である。

証明

k>0 を整数とする。

いま、f(v)=fk−1(f(v))=fk−1(λv)=λf(k−1)(v)=・・・=λv である。

P(X)=0≦k≦N とおく。

いま、P(f)(v)=0≦k≦N(v)=0≦k≦Nλv=P(λ)v である。

G3

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

S、T を V の基底とする。

A を、f の ( S に関する ) 表現行列とする。

B を、f の ( T に関する ) 表現行列とする。

このとき、det(xI−A)=det(xI−B)である。

証明

P を S から T への基底変換行列とする。

いま、B=P−1AP である。

よって、xI−B=xP−1P−P−1AP=P−1(xI−A)P である。

よって、|xI−B|=|P−1||xI−A||P|=|xI−A|である。

定義 ( 固有多項式 )

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

A を、f の ( ある基底に関する ) 表現行列とする。

F(x)=|xI−A|と定義する。(★)

このとき、F(x) を 『 f の固有多項式 』 という。

また、F(x)=0 を 『 f の固有多項式 』 という。

既に示したように、(★)は基底に依存しない。(※G3)

G4

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

F(x) を f の固有多項式とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F(x)の次数は n である。

(2) F(x)の x の係数は1である。

証明

A を、f の ( ある基底に関する ) 表現行列とする。

後の議論は F2 と全く同じである。

G5

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

F(x) を f の固有多項式とする。

λ∈K とおく。

このとき、次は同値である。

(1) λ は f の固有値である。

(2) F(λ)=0

補足

S を V の基底とする。

A を、f の ( S に関する ) 表現行列とする。

いま、λI−f の表現行列は λI−A である。

また、|λI−A|=F(λ) である。

以下の証明ではこのことを用いる。

証明

(1)を仮定する。

いま、ある v∈V が ( ただし v≠0 ) が存在して、(λI−f)(v)=0 となる。

よって、Ker(λI−f)≠{0} である。

よって、λI−f は単射ではない。(※D23)

よって、その表現行列 λI−A は正則ではない。(※E16)

よって、|λI−A|=0 である。(※B15)

以上により、(2)が示された。

上記の議論を逆に辿れば、(2)⇒(1)が示される。

G6

V を 上の有限次元ベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

F(x) を f の固有多項式とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F(x)=(x−λ)・・・(x−λ)と表せる。

(2) λ、・・・、λ は f の固有値である。

補足

V が実ベクトル空間の場合、(2)は成り立たない。(※定義:固有値)

補足

つまり、n次元複素ベクトル空間は(重複も含めて) n 個の固有値をもつ。

(1)の証明

明らかである。(※G4、代数学の基本定理)

(2)の証明

明らかである。(※G5)