線形変換の対角化(同値条件)

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定義 ( 線形変換の対角化可能性 )

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

ある基底 S⊂V が存在して、f の ( Sに関する ) 表現行列は対角行列であるとする。

このとき、「 f は対角化可能である 」 という。

G7

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は対角化可能である。

(2) f の固有ベクトルからなる V の基底が存在する。

証明

(1)を仮定する。

いま、ある基底 S={ v、・・・、v }⊂V が存在して、f の ( S に関する ) 表現行列 D は対角行列である。

D=diag(λ、・・・、λ) とおく。

いま、(f(v)、・・・、f(v))=(v、・・・、v)D である。(※E1)

よって、f(v)=λ である。

つまり、v は固有ベクトルである。

以上により、(1)⇒(2)が示された。

上記の議論を逆に辿れば、(2)⇒(1)が示される。

G8

A を n 次 K 行列とする。

:K→K を L(x)=Ax で定義する。

このとき、次は同値である。

(1) L は対角化可能である。

(2) A は対角化可能である。

証明

(1)を仮定する。

いま、f の固有ベクトルからなる K の基底 S が存在する。(※G7)

S={ x、・・・、x } とおく。

λ を x に対応する固有ベクトルとする。

いま、L の S に関する表現行列は diag(λ、・・・、λ)である。(※E1)

P=(x、・・・、x) とおく。

つまり、P は n 次正則行列である。

いま、L の S に関する表現行列は P−1AP である。(※E12)

よって、P−1AP=diag(λ、・・・、λ) である。

以上により、(1)⇒(2)が示された。

以上の議論を逆に辿れば(2)⇒(1)が示される。

G9

V を K 上のベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

λ、・・・、λ を、f の相異なる固有値とする。

このとき、W(λ)+・・・+W(λ)は直和である。

証明

∈W(λ) とおく。

+・・・+w=0 であるとする。(★)

k∈{ 1、・・・、r } とおく。

P(X)=(X−λ)・・・(X−λk−1)(X−λk+1)・・・(X−λ) とおく。

P(f)によって(★)の両辺を写すと、1≦i≦rP(λ)(w)=0 である。(※G2)

いま、i≠k ⇒ P(λ)=0 である。

よって、P(λ)w=0 である。

いま、P(λ)≠0 である。

よって、w=0 である。

以上により、w+・・・+w=0 ⇒ 「 w=0、・・・w=0 」 である。

よって、W(λ)+・・・+W(λ) は直和である。(※F15)

G10 ( 線形変換の対角化可能性に対する同値条件 )

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

f は ( 重複を含めて ) n 個の固有値をもつとする。(★)

λ、・・・、λ を、f の相異なる固有値とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は対角化可能である。

(2) V=W(λ)□・・・□W(λ

(3) ある基底に関して f の表現行列は diag(λ、・・・、λ、・・・、λ、・・・、λ)となる。

(4) 任意の i=1、・・・、r に対し、λ の代数的重複度と幾何的重複度は一致する。

補足

ただし、(3)において、各λ は代数的重複度と同じ個数だけ並んでいるとする。

補足

V が複素ベクトル空間である場合、条件(★)は自動的に満たされる。

補足

以下の証明では、dimV=n とする。

を λ の代数的重複度とする。

つまり、m+・・・+m=n である。

(1)⇒(2)の証明

(1)を仮定する。

いま、ある基底 S が存在して、これは f の固有ベクトルからなる。(※G7)

また、これらのベクトルは W(λ)、・・・、W(λ) のいずれかに属する。

よって、S⊂W(λ)+・・・+W(λ) である。

つまり、S⊂W(λ)□・・・□W(λ) である。(※G9)

よって、span(S)⊂W(λ)□・・・□W(λ) である。(※D4)

一方、span(S)=V である。

よって、V⊂W(λ)□・・・□W(λ) である。

よって、V=W(λ)□・・・□W(λ) である。

(2)⇒(3)の証明

dimW(λ)=d とおく。

{ e(k)、・・・、e(k) } を W(λ) の基底とする。

S={ e(1)、・・・、e(1)、・・・、e(r)、・・・、e(r) } とおく。

いま、S は V の基底である。(※F16)

f の ( S に関する ) 表現行列は D=diag(λ、・・・、λ、・・・、λ、・・・、λ) である。(※E1)

ただし、各 λ は d 個ずつ並んでいるとする。

つまり、D は n 次行列である。

いま、f の固有多項式は det(xI−D)=(x−λ・・・(x−λ である。

よって、d=m、・・・、d=m である。

(3)⇒(4)の証明

(3)を仮定する。

(3)の意味での基底を { e(1)、・・・、e(1)、・・・、e(r)、・・・、e(r) } とおく。

=span(e(k)、・・・、e(k)) とおく。

いま、W⊂W(λ) である。(※D4)

よって、dimW≦dimW(λ) である。

いま、V=W□・・・□W である。(※F15)

よって、dimV=1≦k≦rdimW1≦k≦rdimW(λ)=dim(W(λ)□・・・□W(λ))≦dimV である。

よって、1≦k≦rdimW1≦k≦rdimW(λ)である。

よって、任意の k=1、・・・、r に対し、dimW=dimW(λ)である。

つまり、dimW(λ)=m である。

(4)⇒(1)の証明

(4)を仮定する。

いま、dim(W(λ)□・・・□W(λ))=1≦i≦rdimW(λ)=1≦i≦r=dimV である。

よって、W(λ)□・・・□W(λ)=V である。(※D15)

を W(λ) の基底とする。

S=S∪・・・∪S とおく。

いま、S は V の基底である。(※F16)

また、S の元はすべて f の固有ベクトルである。

よって、f の ( S に関する ) 表現行列は対角行列である。(※E1)

つまり、f は対角化可能である。