同型写像⇔「表現行列は正則」

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E13 ( 補題 )

f:K→K を線形写像とする。

このとき、ある m×n 型 K 行列 A が一意に存在して、f=L となる。

補足

ただし、L は A によって定められる線形写像である。

証明

{ e、・・・、e } を K の自然基底とする。

=f(e) とおく。

A=(a、・・・、a) とおく。

x∈K とおく。

いま、x=x+・・・+x ( x∈K ) と表せる。

また、f(x)=xf(e)+・・・+xf(e)=x+・・・+x=Ax=L(x) である。

つまり、f=L である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、一意性を示す。

f=L、f=L であるとする。

いま、L(e) と L(e) は、A、B の第 i 列である。

また、L(e) =f(e)=L(e) である。

よって、A と B の各列は等しい。

よって、A=B である。

よって、L=L である。

E14 ( 補題 )

A を m×n 型 K 行列とする。

B を n×r 型 K 行列とする。

:K→K を A によって定められる線形写像とする。

:K→K を B によって定められる線形写像とする。

AB:K→K を AB によって定められる線形写像とする。

このとき、LAB=L*L である。

証明

x∈K とおく。

いま、LAB(x)=ABx=L(Bx)=L(Lx)=L*L(x)である。

E15 ( 補題 )

A を n 次 K 行列とする。

:K→K を A によって定められる線形変換とする。

このとき、次は同値である。

(1) L は全単射である。

(2) A は正則行列である。

証明

(1)を仮定する。

いま、L−1:K→K を考えることができる。

また、ある n 次行列 B が存在して、L−1=L となる。(※E13)

また、L*L=I=L である。

また、L*L=LBA である。(※E14)

よって、BA=I である。(※E13の一意性)

よって、A は正則である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、L−1*L=L=I である。(※E14)

また、L*L−1=L=I である。(※E14)

よって、L は全単射である。(※S2)

E16 ( 同型写像⇔「表現行列は正則」 )

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

f:V→V を線形変換とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は全単射である。

(2) 任意の基底 S⊂V に対し、f の ( S に関する ) 表現行列は正則である。

(3) ある基底 S⊂V が存在して、f の ( S に関する ) 表現行列は正則である。

(1)⇒(2)の証明

(1)を仮定する。

S={ v、・・・、v } を V の基底とする。

A を f の ( S に関する ) 表現行列とする。

:K→K を A によって定められる線形変換とする。

φ:V→K を S によって定められる同型写像とする。

いま、L=φ*f*φ−1 である。(※E2)

また、仮定より、f は同型写像である。

よって、L は同型写像である。

よって、A は正則である。(※E15)

(2)⇒(3)の証明

明らかである。

(3)⇒(1)の証明

(3)を仮定する。

いま、ある基底 S⊂V が存在して、f の ( S に関する ) 表現行列 A は正則である。

:K→K を A によって定められる線形変換とする。

S={ v、・・・、v } とおく。

φ:V→K を S によって定められる同型写像とする。

いま、L=φ*f*φ−1 である。(※E2)

よって、φ−1*L*φ=f である。

いま、A は正則であるから、L は同型写像である。(※E15)

よって、f も同型写像である。