座標変換公式

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E17 ( 表現行列の座標変換公式 )

V を K 上 の n 次元ベクトル空間とする。

W を K 上 の m 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v } を V の基底とする。

T={ w、・・・、w } を W の基底とする。

f:V→W を線形写像とする。

v∈V とおく。

v=x+・・・x とおく。

f(v)=y+・・・y とおく。

A を、f の ( S と T に関する ) 表現行列とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

φ:V→K を S によって定められる同型写像とする。

ψ:V→K を T によって定められる同型写像とする。

x=(x、・・・、x)とおく。

y=(y、・・・、y)とおく。

いま、φ(v)=x、ψ(f(v))=y である。

よって、ψ(f(φ−1(x)))=y である。

よって、y=ψ*f*φ−1(x)=L(x)=Ax である。(※E2)

E18 ( 基底変換の座標変換公式 )

V を K 上 の n 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v }、S’={ v’、・・・、v’ } を V の基底とする。

v∈V とおく。

v=x+・・・x=x’v’+・・・x’v’ とおく。

P を S から S’ への基底変換行列とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

φ:V→K を S によって定められる同型写像とする。

ψ:V→K を S’ によって定められる同型写像とする。

x=(x、・・・、x)とおく。

x’=(x’、・・・、x’)とおく。

いま、φ(v)=x、ψ(v)=x’である。

よって、x=φ(v)=φ(ψ−1(x’))=L(x’)=Px’である。(※E4)

参考 ( 表現行列のまとめ )

f:V→W を線形写像とする。

V を n 次元ベクトル空間とする。

W を m 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v } を V の基底とする。

T={ w、・・・、w } を W の基底とする。

A を、f の ( S と T に関する ) 表現行列とする。

v=x+・・・+x とおく。

f(v)=y+・・・+y とおく。

このとき、次が成り立つ。(※E1、E17)

参考 ( 基底変換行列のまとめ )

V を n 次元ベクトル空間とする。

S={ v、・・・、v }、S’={ v’、・・・、v’ } を V の基底とする。

P を S から S’ への基底変換行列とする。

v=x+・・・+x=x’v’+・・・+x’v’とおく。

このとき、次が成り立つ。(※E3、E18)





前者は 『 基底変換公式 』 と呼ばれる。

後者は 『 座標変換公式 』 と呼ばれる。

これらの式は幾何学の世界でよく用いられる。

上式において、ある意味で 『 変換の順番は反対 』 であることが分かるであろう。

つまり、1つのベクトル空間に注目しているとき、基底変換と座標変換は逆になっている。

なので、ベクトル空間の元は 『 反変ベクトル 』 と呼ばれることもある。

ちなみに、テンソル空間というものを考えると、基底変換と座標変換の向きが同じになる。

なので、ふつうのテンソル空間を 『 共変テンソル空間 』 という。