次元定理(線形写像の基本定理)

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定義 ( 像 )

f:V→W を線形写像とする。

Imf=f(V)と定義する。

このとき、Imf を 『 f の像 』 という。

定義 ( 核 )

f:V→W を線形写像とする。

を W の零元とする。

Kerf=f−1(0)と定義する。

このとき、Kerf を 『 f の核 』 という。

−1(0)は f による{0}の逆像を意味する。

−1(0)は f−1({0})の略記である。

D22

f:V→W を線形写像とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) Imf は W の部分空間である。

(2) Kerf は V の部分空間である。

(1)の証明

明らかに、0=f(0)∈ Imf である。(※D18)

よって、Imf は空ではない。

、w∈ Imf とおく。

いま、ある v、v∈V が存在して、w=f(v)、w=f(v)となる。

また、w+w=f(v)+f(v)=f(v+v)∈Imf である。(※定義:線形写像)

また、kw=kf(v)=f(kv)∈Imf である。(※定義:線形写像)

よって、Imf は W の部分空間である。(※D3)

(2)の証明

明らかに、0∈Kerf である。(※D18)

よって、Kerf は空ではない。

x、y∈ Kerf とおく。

いま、f(x+y)=f(x)+f(y)=0+0=0 である。

また、f(kx)=kf(x)=k0=0 である。

よって、x+y∈Kerf かつ kx∈Kerf である。

よって、Kerf は V の部分空間である。(※D3)

D23

V、W を K 上のベクトル空間とする。

f:V→W を線形写像とする。

を V の零元とし、0 を W の零元とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は単射である。

(2) Kerf={0

証明

(1)を仮定する。

いま、f(0)=0 である。(※D18)

x∈V とおく。

x≠0 とする。

f は単射であるから、f(x)≠f(0)である。

よって、f(x)≠0 である。

よって、x は Kerf に属さない。

よって、Kerf={0}である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

f(x)=f(y)とおく。

いま、f(x−y)=f(x)−f(y)=0 である。(※定義:線形写像)

仮定より、x−y=0 である。

よって、x=y である。

以上により、f(x)=f(y) ⇒ x=y である。

よって、f は単射である。

D24 ( 次元定理 )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

f:V→W を線形写像とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) dimV=dim(Kerf)+dim(Imf)

補足

次元定理は 『 線形写像の基本定理 』 と呼ばれることもある。

これは代数学で登場する 『 準同型定理 』 の一例である。

これらは非常に重要な定理である。

補足

定理の様子を図に示すと、

証明

Imf は W の部分空間であり、Kerf は V の部分空間である。(※D22)

{ v、・・・、v } を Kerf の基底とする。

{ v、・・・、v、vr+1、・・・、v } を V の基底とする。

( このようにおけることは D13 によって保障されている )

後は、dim(Imf)=n−r を示せばよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f:V→W の定義域を V−Kerf に制限する。

これは Kerf={0} を意味する。

よって、f:V−Kerf→W は単射である。(※D23)

f:V−Kerf→Imf と見なせば、これは同型写像である。

よって、f(vr+1)、・・・、f(v)は Imf の基底である。

よって、dim(Imf)=n−r である。