行列の積

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定義 ( 行列の積 )

行列 A と B を次のようにおく。



ここで、次のような行列 C を定義する。



このとき、C を 『 A と B の積 』 という。

つまり、A の列数と B の行数が等しい場合にのみ積を計算できる。



逆に言えば、A の列数と B の行数が異なる場合には積を計算できない。

以下、具体的に2次行列や3次行列について積を確認しよう。

定義 ( 行列の積[2次行列ver])

行列 A と B を次のようにおく。



このとき、A と B の積 AB は次のように計算される。



例えば、行列 A と B を次のようにおいてみよう。



このとき、積 AB を計算すると次を得る。

参考

一見すると、行列の積に関する計算は数字がランダムに並んだものに見えてしまうかもしれない。

しかし、単純な法則性がある。

それは行列 A と B に補助線を引けば分かるであろう。

実際に引いてみると、



よく観察すれば、行列の積は補助線に沿って計算されていることが分かるであろう。

行列の積は実際に計算して慣れるのがよいであろう。

そこで、以下に例題を用意しておく。

例題

次の行列の積を計算せよ。

解答





定義 ( 行列の積[3次行列ver])

行列 A と B を次のようにおく。



このとき、A と B の積 AB は次のように計算される。

例題

次の行列の積を計算せよ。

解答





例題

次の行列の積を計算せよ。



解答









参考

試しに以下の行列計算を行ってみた。

行列の成分が端に追いやられていくようでおもしろい。







A3 ( 行列の積は非可換である )

A、B を行列とする。

行列の積に関して可換則が成り立つとは限らない。

つまり、AB=BA が成り立つとは限らない。

証明

成り立つとは限らないことを示すには、何か1つ反例を挙げればよい。

例えば、行列 A、B を次のようにおく。



このとき、AB≠BA である。

補足

つまり、行列に積に関する計算では、勝手に計算の順序を入れ換えてはならない。

A4 ( 行列の積は結合則をみたす )

行列の積に関する計算では結合則が成り立つ。

つまり、(AB)C=A(BC)が成り立つ。

証明 ( この証明は意外に面倒である )

A を m×n 行列、B を n×p 行列、C を p×q 行列とする。



参考のために図を示しておく。



ABの ( i、r ) 成分は次のように表される。



よって、(AB)C の ( i、s ) 成分は、



同様に、A(BC) の ( i、s ) 成分は、



(*1)、(*2)より、(AB)C と A(BC) の(i、s)成分は一致している。

つまり、(AB)C=A(BC)である。

A5 ( 単位行列と零行列 )

単位行列 I と零行列 O に対して次が成り立つ。

(1) AI=IA=A

(2) AO=OA=O

補足

つまり、I と O については可換則が成り立つ。

証明

明らかである。

A6 ( 行列の積は分配則をみたす )

行列の積に関して分配則が成り立つ。

つまり、次が成り立つ。

(1) (A+B)C=AC+BC

(2) C(A+B)=CA+CB

補足

ただし、可換則は必ずしも成り立たないから、次が成り立つとは限らない。

(*) C(A+B)=AC+BC

行列の積に関する計算では勝手に順番を入れ替えてしまわないように注意が必要である。

証明

明らかである。

A7 ( 零因子 )

行列 X と Y で、次を同時に満たすものが存在する。

(*1)、X≠O と Y≠O

(*2) XY=O

このような行列 X と Y を 『 零因子 』 という。

補足

普通の数の場合、x≠0 かつ y≠0 ならば、つねに xy≠0 となる。

つまり、零因子の存在は行列特有の性質である。

証明

例えば、次のような行列が挙げられる。