行列式の定義

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定義 ( 行列式 )

A=(aij) を n 次行列とする。

次のように定義する。



これを 『 A の行列式 』 という。

σ∈Sn は 「 n 次置換全体について和をとる 」 という意味である。

A の行列式には、次のように何通りかの表し方がある。

B4

A=(aij)を2次行列とする。

このとき、A の行列式は次のように表される。

証明

2個の数を置換する場合には、2!=2個の置換が存在する。

それらを記号で次のようにおく。



定義に従えば、2次行列の行列式は、



σ は恒等置換なので、偶置換である。

また、σ は1つの互換の積として表されるので、奇置換である。

よって、



また、数字 1、2 について、各置換を行うと、



以上により、

B5

A=(aij)を3次行列とする。

このとき、A の行列式は次のように表される。

証明

3個の数を置換する場合には、3!=6個の置換が存在する。

それらを記号で次のようにおく。



定義に従えば、3次行列の行列式は



σ は恒等置換なので、偶置換である。

また、σ とσ については、次のように2つの互換の積として表すことができる。



よって、σ とσ は偶置換である。

一方、σ、σ、σ は1つの互換の積として表すことができるので奇置換である。

よって、



また、数字 1、2、3 について、各置換を行うと、



以上により、

参考 ( 要するに行列式とは・・・ )

簡単にいうと、行列式とは、行と列が重ならないように成分を選び、

その全ての組み合わせを考え、符合を付け、和をとった式である。



しかし、愚直に定義に従って置換を考えるのは面倒である。

そこで、実際に行列式の値を求めるための公式がある。

それが以降で紹介する 『 サラスの公式 』 や 『 余因子展開 』 である。

まずはサラスの公式を紹介しよう。

( 余因子展開はもう少し後で登場する )

参考 ( サラスの公式 )

例えば、次の行列式をサラスの公式を用いて計算してみよう。



まず、下図のように斜めに3本の線を描き、3つの数字を掛けてそれぞれ足し合わせる。



次に、下図のように斜めに3本の線を描き、3つの数字を掛けてそれぞれ足し合わせる。



後は、前者の和から、後者の和を引けば、行列式が求められる。

つまり、



これを 『 サラスの公式 』 という。

サラスの公式は3次の場合にのみ適用できる。

ちなみに、今回の計算で行列式の値が 0 になったのは偶然である。

サラスの公式は、本質的に B5 と同じである。

初歩的な線形代数の教科書では、B4 や B5 を直接に行列式の定義としているものが多い。

これは簡潔であるが、n次行列に関しては全く議論できない。

既に述べたように、サラスの公式は3次行列にしか適用できないことに注意しよう。