ベクトル空間の公理、部分空間

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注意

ベクトル空間を 『 線形空間 』 と呼ぶ参考書もある。

記号の取り決め

以下、K を または とする。

より詳しく、K を 『 体 』 としてベクトル空間を説明している参考書もある。

体は代数学に登場する概念である。

しかし、そのような参考書でも議論の展開は同じである。

いずれにしても、Kは実数または複素数のことであると考えて全く問題はない。

定義 ( ベクトル空間の公理 )

集合 V に対し、次の演算を導入する。

(*1) v、w∈V ⇒ v+w∈V

(*2) v∈V、k∈K ⇒ kv∈V

さらに、次が成り立つとする。

(1) v+w=w+v

(2) (v+w)+u=v+(w+u)

(3) ある x∈V が存在して、任意の v∈V に対し、v+x=v となる。( このような x を 0 と表す )

(4) 任意の v∈V に対し、ある y∈V が存在して、v+y=0 となる。( このような y を −v と表す )

(5) k(v+w)=kv+kw

(6) (k+h)v=kv+hv

(7) (kh)v=k(hv)

(8) 1v=v

このとき、V を 『 K上のベクトル空間 』 という。

V の元を 『 V のベクトル 』 という。

上の(1)〜(8)を 『 ベクトル空間の公理 』 という。

(*1)の演算を 『 和 』 という。

(*2)の演算を 『 スカラー倍 』 という。

(1)〜(4)は和に関する公理である。

(5)〜(8)はスカラー倍に関する公理である。

ここで登場するベクトルという言葉は、高校で学ぶベクトルの一般化である。

つまり、ベクトル空間は高校のベクトルよりも広い意味をもっている。

ベクトル空間の公理は、演算の構造を決めたものである。

なので、何か具体的なモノを定義したわけではない。

これを 「 捉えどころのないもの 」 と感じ、戸惑う学生は多いようである。

無理に具体的なモノで理解しようとするのではなく、チェスのルールのように考えればよい。

定義 ( 零元 )

V を K 上のベクトル空間とする。

とくに、0∈V を 『 V の零元 』 という。

D1

V を K 上のベクトル空間とする。

v∈V とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) 0v=0

(2) (−1)v=−v

補足

上の定理は当然のことを主張しているように思えるかもしれない。

しかし、私たちが使用してよい関係はベクトル空間の公理だけである。

ここではベクトル空間の公理だけを用いて、上の関係を論理的に示す。

(1)の証明

0v+0v=(0+0)v=0v である。(※ベクトル空間の公理(6)(3))

また、ある y∈V が存在して、0v+y=0 となる。(※ベクトル空間の公理(4))

最初の式の両辺に y を加えると、0v+(0v+y)=(0v+y)である。(※ベクトル空間の公理(2))

よって、0v+0=0 である。

よって、0v=0 である。(※ベクトル空間の公理(3))

(2)の証明

v+(−1)v=(1+(−1))v=0v である。(※ベクトル空間の公理(8)、(6)、(4))

(1)より、0v=0 である。

よって、v+(−1)v=0 である。

これは(−1)v=−v であることを意味している。(※ベクトル空間の公理(4))

定義 ( m-列ベクトル )

m×1行列を 『 m-列ベクトル 』 という。

K を成分としてもつ m-ベクトル全体を K と表す。

つまり、

定義 ( m×n 行列全体の表記 )

K を成分としてもつ m×n 行列全体を M(m、n;K)と表す。

M は英語の matrix(行列)に由来する。

D2

次が成り立つ。

(1) K は K 上のベクトル空間である。

(2) Mm×n(K)は K 上のベクトル空間である。

補足

とくに、(1)より、次が成り立つ。

(*1)  上のベクトル空間である。

(*2)  上のベクトル空間である。

(1)の証明

明らかに、次が成り立つ。

(*1) x、y∈K ⇒ x+y∈K

(*2) x∈K、k∈K ⇒ kx∈K

いま、(*1)は m-列ベクトル と m-列ベクトルの和は m-列ベクトルであることを意味している。

また、(*2)は m-列ベクトルをスカラー倍したものは m-列ベクトルであることを意味している。

また、明らかに、Mm×n(K)はベクトル空間の公理(1)〜(8)を満たす。

(2)の証明

(1)と同様に証明できる。

定義 ( n-列ベクトル空間 )

はベクトル空間である。(※D2)

そこで、K を 『 n-列ベクトル空間 』 という。

定義 ( 部分空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

W を V の部分集合とする。

W は空集合ではないとする。

W 自身も K 上のベクトル空間であるとする。

このとき、W を 『 V の部分空間 』 という。

つまり、V に定められている演算に関して、W もベクトル空間になっているということである。

D3

V を K 上のベクトル空間とする。

W を V の部分集合とする。

W が V の部分空間となることは、次の条件(*1)〜(*3)が成り立つことと同値である。

(*1) W≠φ

(*2) v、w∈W ⇒ v+w∈W

(*3) v∈W、k∈K ⇒ kv∈W

補足

定理の(*2)と(*3)の条件をまとめて次のように表すこともできる。

(*4) v、w∈W、k、h∈K ⇒ kv+hw∈W

補足

条件(*3)において k=0 とすると、0∈W である。

つまり、ベクトル空間 V の部分空間 W はつねに 0 を含む。

これによって、ある集合が V の部分空間であるか否かを検討できる。

例えば、「 次のような集合 W が K の部分空間であるか否かを判定せよ 」 と出題されたとしよう。



このとき、(2)は K の部分空間でないことがすぐに分かる。

なぜなら、0 は(2)の集合に属さないからである。

証明

W は V の部分空間であるとする。

このとき、明らかに、(*1)〜(*3)が成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

逆に、W が(*1)〜(*3)を満たすと仮定する。

v、w∈W とおく。

(*2)より、v+w∈W である。

W は V の部分集合であるから、v+w∈V である。

よって、v+w=w+v である。(※ベクトル空間の公理(1))

よって、W に対してもベクトル空間の公理(1)が成り立つ。

同様に、W に対して、ベクトル空間の公理(2)、(5)〜(8)が成り立つ。

また、(*3)より、0v∈W である。

よって、0∈W である。(※D1)

よって、W に対してベクトル空間の公理(3)が成り立つ。

また、(*3)より、−1v∈W である。

よって、−v∈W である。(※D1)

よって、W に対してベクトル空間の公理(4)が成り立つ。

以上により、W は K 上のベクトル空間である。

参考

初学者は定義(ベクトル空間の公理)に書かれている(1)〜(8)を見て戸惑うかもしれない。

おそらく、その気持ちを代弁すれば、

「 式の数が多い 」

「 なんか当たり前のことを書いているような、しかし、何か違和感があるような・・・ 」

・・・というところかもしれない。

(1)〜(8)は何のために書かれているのであろうか?

それを考えるために、(1)の式 v+w=w+v に注目しよう。

私たちは義務教育で 2+3=3+2 のような法則が成り立つことを当たり前だと思っている。

しかし、いまここで考えているのは集合 V の元である。

集合 V には何のルールも与えられていない。

だから、新しく v+w=w+v というルールを追加するのである。

ただし、ここで用いている 『 + 』 という記号は 「 数の和 」 を意味するわけではない。

実際、v や w は V の元であって数ではない。

だから、極端な話、『 + 』 という記号の代わりに 『 ☆ 』 や 『 @ 』 を用いてもよいのである。

ただ、普通の数の和と同様の性質をもたせているので、同じように + で表しているだけである。

この辺りは今までの常識を捨てて、頭の中を白紙に戻して考えなければならない。

ちなみに、ベクトル空間については、代数学の群・環・体を学ぶと理解が深くなる。

代数学に登場する 『 環上の加群 』 はベクトル空間の一般化である。

参考

ベクトルを太字で表し、普通の数と区別しやすくしている参考書もある。

しかし、現場ではわざわざ太字で書かれることはない。

また、太字で表していると、学生が文字の太さでベクトルと数を判断することに慣れてしまう。

これは自転車の補助輪をいつまでも外せない類の悪癖も生む可能性がある。

なので、このサイトではベクトルは普通の文字で表している。

最近は、この類の参考書も増えているようである。

参考

D1(1)の 0v=0 について、左辺の 0 と、右辺の 0 は区別する。

例えば、x∈K とする。

このとき、x は次の形で表される。



また、0x=0 は次のように表される。



左辺の 0 は普通の数であり、右辺の 0 はベクトルであることが分かるであろう。