置換の定義

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定義 ( 置換 )

n 個の数 1、2、・・・、n を並べ替えたものを i、i、・・・、i とする。

ここで、各値を次のように対応させる。



このような対応を 『 n 次置換 』 という。

このとき、置換σを次のように表す。



次のように表しても意味は同じである。

一見、置換の定義は難しそうに見えるが、実は非常に簡単なことである。

例えば、ここに数字 1、2、3 が並んでいるとしよう。

そして、この数字を次のように並べ替えるとする。



つまり、1 を 3 に、2 を 1 に、3 を 2 に置き換えたのである。

これを置換で表現すれば、



また、右辺の1行目は必ずしも1、2、3 の順番に揃える必要はない。

よって、例えば、次が成り立つ。

言い換えると、置換は 『 全単射な写像 』 である。

定義 ( 置換の積 )

次のような2つの置換を考える。



このとき、置換の積τσを次のように定義する。

例えば、次のようにおく。



すると、τσは次のように計算される。



置換σでは 1→3、置換τでは 3→4 となっているので、置換τσでは 1→4 となっている。

つまり、τσは 「σで写してからτで写す 」 という意味である。

これを 「τで写してからσで写す 」 と誤解されやすいので注意。

写像の立場から考えると、これは自然である。

定義 ( 逆置換 )

次のような置換σを考える。



これに対して、次のように定義する。



σ−1 を 『σの逆置換 』 という。

例えば、σを次のようにおく。



このとき、



次のように表しても意味は同じである。

言い換えると、逆置換とは 『 逆写像 』 である。

定義 ( 恒等置換 )

i ( i =1、2、・・・、n ) に対して、i 自身を対応させる置換を 『 恒等置換 』 といい、I と表す。

「 恒等置換などというものを定義して何の意味があるのか?」 と疑問に思うかもしれない。

しかし、これが意外と役立つのである。

参考

明らかに、次が成り立つ。

定義 ( 巡回置換 )

ある相異なる k 個の数字 i、・・・、i を次のように対応させる。



さらに、それ以外の数字を恒等置換と同じように対応させる。

このような置換を 『 巡回置換 』 といい、次のように表す。

例えば、次のように表す。



1→4→5→1 のように巡回していることに注目。

定義 ( 互換 )

2つの文字だけを入れ換え、それ以外の数は恒等置換と同じように対応させる。

このような置換を 『 互換 』 という。

例えば、次のような置換は互換である。



これは、次のように表すこともできる。



つまり、互換は巡回置換でもある。

B1

(1) 任意の置換は、いくつかの巡回置換の積で表される。

(2) 巡回置換 ( i、i、・・・、i ) は ( k−1 )個の互換の積で表される。

(3) 任意の置換は、互換の積で表される。

(1)の証明

これをしっかり証明しようとすると少し長くなってしまうので省略する。

その代わり、この定理が成り立つことを確認しよう。

例えば、次のような置換σについて考える。



数字 「1」 から順に辿ると、1→5、5→3、3→7、7→1 となり、巡回する。

このような巡回置換はσ=(1537)と表される。

また、上の巡回置換に含まれなかった数字の中で、最も小さい数から始めると、

2→6、6→4、4→2 となって、巡回する。

このような巡回置換はσ=(264)と表される。

以上により、σ=σσ である。

(2)の証明

これをしっかり証明しようとすると少し長くなってしまうので省略する。

その代わり、この定理が成り立つことを確認しよう。

例えば、次のような巡回置換を考える。



これを互換の積で表すには次のようにする。

まず、次のような恒等置換を考える。



ここで、(13)置換する。



さらに、(24)置換する。



さらに(12)置換する。



こうして、最初に与えられた巡回置換を互換の積で表すことができた。

つまり、左端から置き換えて揃えていくのである。

k個の数が並んでいるなら、この置き換え作業は(k−1)回で完了する。

(3)の証明

(1)、(2)より成り立つ。

参考

置換 と 『 あみだくじ 』 は本質的に同じである。

なので、この辺りの理論は 『 あみだくじの数理 』 と呼ばれることもある。

まず、次のような恒等置換ρを考える。



この置換を 『 あみだくじ 』 で表すと下図のようになる。



ここで、置換ρについて、2 と 3 を入れ替える。



これをあみだくじで表すと次のようになる。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

新しく次のような2つの置換σ、τを考える。



それぞれの置換をあみだくじで表現すると、



さらに、置換の積を計算してみると、



これをあみだくじで表現すると、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

既に示したように、任意の置換は互換の積で表される。(※B1)

例えば、



これをあみだくじで考えると、



図で分割された 『 あみだくじ 』 はそれぞれ互換になっている。

『 あみだくじ 』 全体が互換の積として表現できることは明らかである。