行列式の定義[n次元ver]

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定義 ( 置換 )

n 個の数 1、2、・・・、n を並べ替えたものを i、i、・・・、i とする。

ここで、各値を次のように対応させる。



このような対応を 『 n 次置換 』 という。

このとき、置換σを次のように表す。



次のように表しても意味は同じである。

一見、置換の定義は複雑に視えるかもしれない。

しかし、実は非常に簡単である。

例えば、ここに数字 1、2、3 が並んでいるとしよう。

そして、この数字を次のように並べ替えるとする。



つまり、1 を 3 に、2 を 1 に、3 を 2 に置き換えたのである。

これを置換で表現すれば、



また、右辺の1行目は必ずしも1、2、3 の順番に揃える必要はない。

よって、例えば、次が成り立つ。



言い換えると、置換は 『 全単射な写像 』 である。

定義 ( 置換の積 )

次のような2つの置換を考える。



このとき、置換の積τσを次のように定義する。

例えば、次のようにおく。



すると、τσは次のように計算される。



置換σでは 1→3、置換τでは 3→4 となっているので、置換τσでは 1→4 となっている。

つまり、τσは 「σで写してからτで写す 」 という意味である。

これを 「τで写してからσで写す 」 と誤解されやすいので注意。

写像の立場から考えると、これは自然である。

定義 ( 逆置換 )

次のような置換σを考える。



これに対して次のように定義する。



σ−1 を 『σの逆置換 』 という。

例えば、σを次のようにおく。



このとき、



次のように表しても意味は同じである。

言い換えると、逆置換とは 『 逆写像 』 である。

定義 ( 恒等置換 )

任意の番号 i ( i =1、2、・・・、n ) に対して i 自身を対応させる置換を 『 恒等置換 』 という。

恒等置換を I で表す。

「 恒等置換などというものを定義して何の意味があるのか?」 と疑問に思うかもしれない。

しかし、これが意外と役立つのである。

参考

明らかに、次が成り立つ。

定義 ( 巡回置換 )

ある相異なる k 個の数字 i、・・・、i を次のように対応させる。



さらに、それ以外の数字を恒等置換と同じように対応させる。

このような置換を 『 巡回置換 』 という。

巡回置換を次のように表す。

例えば、次のように表す。



1→4→5→1 のように巡回していることに注目。

定義 ( 互換 )

2つの文字だけを入れ換え、それ以外の数は恒等置換と同じように対応させる。

このような置換を 『 互換 』 という。

例えば、次のような置換は互換である。



これは、次のように表すこともできる。



つまり、互換は巡回置換でもある。

B1

(1) 任意の置換は複数の巡回置換の積で表される。

(2) 巡回置換 ( i、i、・・・、i ) は ( k−1 )個の互換の積で表される。

(3) 任意の置換は互換の積で表される。

(1)の証明

これをしっかり証明しようとすると少し長くなってしまうので省略する。

その代わり、この定理が成り立つことを確認しよう。

例えば、次のような置換σについて考える。



数字 「1」 から順に辿ると、1→5、5→3、3→7、7→1 となり、巡回する。

このような巡回置換はσ=(1537)で表される。

また、上の巡回置換に含まれなかった数字の中で、最も小さい数から始めると、

2→6、6→4、4→2 となって、巡回する。

このような巡回置換はσ=(264)で表される。

以上により、σ=σσ である。

(2)の証明

これをしっかり証明しようとすると少し長くなってしまうので省略する。

その代わり、この定理が成り立つことを確認しよう。

例えば、次のような巡回置換を考える。



これを互換の積で表すには次のようにする。

まず、次のような恒等置換を考える。



ここで、(13)置換する。



さらに、(24)置換する。



さらに(12)置換する。



こうして、最初に与えられた巡回置換を互換の積で表すことができた。

つまり、左端から置き換えて揃えていくのである。

k個の数が並んでいるなら、この置き換え作業は(k−1)回で完了する。

(3)の証明

(1)と(2)より成り立つ。

参考 ( あみだクジの数理 )

置換 と 「 あみだクジ 」 は本質的に同じである。

まず、次のような恒等置換ρを考える。



この置換を 「 あみだクジ 」 で表すと下図のようになる。



ここで、置換ρについて、2 と 3 を入れ替える。



これをクジで表すと次のようになる。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

新しく次のような2つの置換σ、τを考える。



それぞれの置換をあみだクジで表現すると、



さらに、置換の積を計算してみると、



これをクジで表現すると、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

既に示したように、任意の置換は互換の積で表される。(※B1)

例えば、



これをクジで考えると、



図で分割されたクジはそれぞれ互換になっている。

クジ全体が互換の積として表現できることは明らかである。

定義 ( S

n 次置換全体を S で表す。

σが n 次置換であることをσ∈S で表す。

B2

ある置換ρ∈S を2通りの互換の積として表すことができたとする。



このとき、r と s の偶奇は一致する。

補足

置換σを互換の積として表す場合、複数の表し方が考えられる。

例えば、



この場合、互換の数は3個と5個の両方が考えられる。

ただし、どのような分解をしても偶奇は一致する。

このことは今回の定理によって保障される。

以下、準備1と準備2を用意して証明する。

準備1

多項式 f(x、x、・・・、x)と 置換σ∈S を考える。

σ、τ∈S とする。

明らかに、σ(τf)=(στ)f である。

つまり、多項式 f をτ置換してからσ置換しても、

τ置換をσ置換してから多項式 f を置換しても、

結果は同じということである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

例えば、次のような多項式 f 、置換σ、τを考える。



このとき、



よって、



よって、σ(τf)=(στ)f である。

準備2

次のような多項式を定義する。



右辺は、1≦ i < j ≦n となる任意の整数 i と j について、x、x の差の積をとることを意味する。

詳しく書くと次のようになる。( 右辺は全て積になっていることに注意 )



具体例として、n=4の場合を考えると、



σが互換であるとすれば、n の値に関係なく σΔ=−Δ であると推測できる。

例えば、先に紹介した n=4 の場合に注目してみよう。

仮にσ=(12)とすると、1 と 2 を入れ替えればよいから、次が成り立つ。

証明

仮定より、



「 準備1 」 で導いた σ(τf )=(στ)f を用いて式変形を行うと、



「 準備2 」 で導いた σΔ=−Δ を用いて式変形を行うと、



これを繰り返すと、



同様に、



よって、



つまり、r と s の偶奇は一致する。

定義 ( 符合 )

置換σを m 個の互換の積として表すことができるとする。

ここで、次のように定義する。



sgn(σ) を 『σの符合 』 という。

既に述べたように、置換σを互換の積に分解する方法は複数存在する。

ここで、「 分解の仕方に依存してsgn(σ)の値が変わってしまうのでは?」 という疑問が生じる。

しかし、そのようなことは起こらない。

このことは既に定理で保障されている。(※B2)

ゆえに、sgn を上のように定義できる。

B3

恒等置換 I に対して次が成り立つ。



任意の置換σとτに対して次が成り立つ。

(1)の証明

恒等置換は 0 個の互換の積として表すことができる。( 2つの同じ互換の積として表すこともできる )

よって、sgn( I )=1 である。

(2)の証明

置換σとτは互換の積として表すことができる。(※B1)

いま、ある互換σ、・・・、σ、τ、・・・、τ が存在して次のように表せる。(※B1)

(*1) σ=σ・・・σ

(*2) τ=τ・・・τ

いま、τσ=ττs−1・・・τσσr−1・・・σである。

また、sgn(σ)=(−1) であり、sgn(τ)=(−1) である。

以上により、sgn(τσ)=(−1)s+r=(−1)(−1)=sgn(τ)sgn(σ)である。

(3)の証明

I を恒等置換とすると I =σσ−1 が成り立つ。

(2)と(1)より、sgn(σ−1)sgn(σ)=sgn( I )=1である。

sgn(σ)=(−1) とおくと、sgn(σ−1)(−1)=1 である。

両辺に (−1) をかけると、sgn(σ−1)=(−1) である。

よって、sgn(σ−1)=sgn(σ)である。

定義 ( 行列式 )

A=(aij)を n 次行列とする。

次のように定義する。



これを 『 A の行列式 』 という。

σ∈Sn は 「 n次置換全体について和をとる 」 という意味である。

A の行列式には次のように何通りかの表し方がある。

B4

A=(aij)を2次行列とする。

このとき、A の行列式は次のように表される。

証明

2個の数を置換する場合には、2!=2個の置換が存在する。

それらを記号で次のようにおく。



2次行列の行列式は次のように表される。(※定義:行列式)



σ は恒等置換なので偶置換である。

また、σ は1つの互換の積として表されるので奇置換である。

よって、



また、数字 1 と 2 に対して各置換を行うと、



以上により、

B5

A=(aij)を3次行列とする。

このとき、A の行列式は次のように表される。

証明

3個の数を置換する場合には、3!=6個の置換が存在する。

それらを記号で次のようにおく。



定義に従えば、3次行列の行列式は



σ は恒等置換なので偶置換である。

また、σ とσ に対して次のように2つの互換の積として表すことができる。



よって、σ とσ は偶置換である。

一方、σ、σ、σ は1つの互換の積として表すことができるので奇置換である。

よって、



また、数字 1、2、3 に対して各置換を行うと、



以上により、

参考 ( 要するに行列式とは・・・ )

簡単にいうと、行列式は次の(*1)と(*2)から得られる式である。

(*1) 行と列が重ならないように成分を選ぶ。

(*2) その全ての組み合わせを考え、符合を付け、和をとる。



しかし、愚直に定義に従って置換を考えることは面倒である。

そこで、実際に行列式の値を求めるための公式がある。

そのような公式として 『 サラスの公式 』 や 『 余因子展開 』 である。

まずはサラスの公式を紹介しよう。

( 余因子展開はもう少し後で登場する )

参考 ( サラスの公式 )

次の行列式をサラスの公式を用いて計算してみよう。



まず、下図のように斜めに3本の線を描き、3つの数字を掛けてそれぞれ足し合わせる。



次に、下図のように斜めに3本の線を描き、3つの数字を掛けてそれぞれ足し合わせる。



後は、前者の和から後者の和を引くと行列式が得られる。

つまり、



これを 『 サラスの公式 』 という。

サラスの公式は3次の場合にのみ適用できる。

サラスの公式は本質的に B5 と同じである。

初歩的な線形代数の教科書では B4 や B5 を直接に行列式の定義としているものが多い。

これは簡潔であるが、n次行列に関しては全く議論できない。

既に述べたように、サラスの公式は3次行列にしか適用できないことに注意しよう。