線形写像、同型写像

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定義 ( 線形写像 )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

f:V→W を写像とする。

次が成り立つとする。

(1) f(x+y)=f(x)+f(y)

(2) f(kx)=kf(x) ( k∈K )

このとき、f を 『 線形写像 』 という。

(1) を 「 和の保存 」 といい、(2) を 「 スカラー倍の保存 」 という。

つまり、線形写像はベクトル空間の演算を保存する写像である。

例えば、f(x)=2x は条件(1)と(2)を満たす。

実際、

(*1) f(x+y)=2(x+y)=2x+2y=f(x)+f(y)

(*2) f(kx)=2(kx)=k(2x)=kf(x)

よって、f(x)=2x は線形写像である。

一方、f(x)=2x+3 や f(x)=x は満たすことができないので線形写像ではない。

条件(2)において k=0 とすると、f(0)=0 である。

つまり、線形写像は 「 原点を通る関数 」 の一般化である。

定義 ( 線形変換 )

V を K 上のベクトル空間とする。

このとき、線形写像 f:V→V を 『 線形変換 』 という。

つまり、線形変換とは、定義域と終域が同じ線形写像である。

定義 ( 同型写像 )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

f:V→W を線形写像かつ全単射であるとする。

このとき、f を 『 V から W への同型写像 』 という。

V と W の間に同型写像 f が存在するとき、「 V と W は同型である 」 という。

D18

V、W を K 上のベクトル空間とする。

f:V→W を線形写像とする。

を V の零元とし、0 を W の零元とする。

このとき、f(0)=0 が成り立つ。

証明

f(0)=f(00)=0f(0)=0 である。(※D1、定義:線形写像)

D19 ( 同型写像による1次独立、1次従属、基底の保存 )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

V と W は同型であるとする。

f:V→W を同型写像とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) V の元に対する1次独立という性質は、f によって写された W の元に対しても成り立つ。

(2) V の元に対する1次従属という性質は、f によって写された W の元に対しても成り立つ。

(3) V の元に対する基底という性質は、f によって写された W の元に対しても成り立つ。

(1)の証明

を V の零元とし、0 を W の零元とする。

、・・・、v を V の1次独立なベクトルとする。

+・・・+c=0 とおく。(★1)

(★1)を満たす係数は c=0、・・・、c=0 のみである。(★2)

(★1)の両辺を f で写すと、f(c+・・・+c)=f(0)である。

よって、f(c+・・・+c)=0 である。(※D18)

式変形すると、cf(v)+・・・+cf(v)=0 である。(※定義:線形写像)

(★2)より、c、・・・、c は 0 以外の値をとれない。

よって、f(v)、・・・、f(v) は1次独立である。

(2)の証明

(1)と同様に示される。

(3)の証明

{ v、・・・、v } を V の基底とする。

w∈W とおく。

f は全射であるから、ある v∈V が存在して、f(v)=w となる。

いま、v=c+c の形で表せる。

両辺を f で写すと、f(v)=cf(v)+cf(v)である。

つまり、w=cf(v)+cf(v)である。

つまり、任意の元 w∈W が f(v)、・・・、f(v) の1次結合で一意に表される。

よって、f(v)、・・・、f(v) は W を生成する。

しかも、(1)より、f(v)、・・・、f(v) は1次独立である。

よって、f(v)、・・・、f(v) は W の基底である。

D20

V、W を K 上のベクトル空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) V と W は同型である。

(2) dimV=dimW

補足

これはD15(2)の一般化である。

証明

(1)を仮定する。

dimV=n とする。

{ v、・・・、v } を V の基底とする。

いま、{ f(v)、・・・、f(v)} は W の基底である。(※D19)

よって、dimW=n である。

よって、dimV=dimW である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

{ v、・・・、v } を V の基底とする。

{ w、・・・、w } を W の基底とする。

いま、任意 v∈V は v=c+・・・+c の形で表される。

そこで、f:V→W を f(v)=(c+・・・+c)で定義する。

明らかに、f は線形写像である。

( さらに、f が全単射であることを示す )

w∈W とおく。

いま、ある c、・・・、c∈K が存在して、w=c+・・・+c である。

よって、w=f(c+・・・+c)である。

よって、f は全射である。(★1)

f(x)=f(y)とおく。

いま、x=c+・・・+c と表せる。

また、y=c’+・・・+c’ と表せる。

f(x)=f(y)であるから、c+・・・+c=c’w+・・・+c’w である。

よって、(c−c’)w+・・・+(c−c’)w である。

よって、c−c’=0、・・・、c−c’=0 である。

よって、c=c’、・・・、c=c’ である。

よって、x=y である。

以上により、f(x)=f(y) ⇒ x=y である。

よって、f は単射である。(★2)

(★1)、(★2)より、f は全単射である。

よって、f は同型写像である。

参考

つまり、同型なベクトル空間は、ベクトル空間として同じ構造をもつ。(※D19、D20)

D21

V を K 上のベクトル空間とする。

を n 列ベクトル空間とする。

このとき、dimV=n ならば V と K は同型である。

証明

の次元は n である。( 例えば、自然基底の基本ベクトルの数は n 個になる )

よって、V の次元と K の次元は等しい。

よって、V と K は同型である。(※D20)

別証明

{ v、・・・、v } を V の基底とする。

{ e、・・・、e } を K の自然基底とする。

次のように定義する。



上の定義では v、・・・、v に対してのみφの値を定めた。

一見すると、V の他の元に対する値は定まっていないように視えるかもしれない。

しかし、これだけで任意の v∈V に対して値を定めたことになる。

実際、



よって、写像φは一意に定まる。

しかも、明らかにφは同型写像である。

よって、V と K は同型である。