転置行列、正則行列・逆行列

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定義 ( 転置行列 )

行と列を入れ替えることで得られる行列を 『 転置行列 』 という。

行列 A の転置行列を A と表す。

A の転置行列を A と表す流儀もある。

例えば、次のような行列を考えてみよう。



このとき、

A8

次が成り立つ。

(1) A)=A

(2) (A+B)=A+

(3) (kA)=k

(4) (AB)=

補足

とくに(4)に注目しよう。

(AB)=B ではないので注意。

(1)〜(3)の証明

明らかである。

(4)の証明

次のようにおく。



AB の ( i、j ) 成分は次のように表される。



よって、(AB) の ( j、i ) 成分も、



一方、A の ( j、i ) 成分は、



(*1)と(*2)は等しいから、

定義 ( 逆行列、正則行列 )

A を n 次正方行列とする。

A に対し、ある正方行列 B が存在して、AB=BA=I となるとする。

このとき、B を 『 A の逆行列 』 といい、A−1 と表す。

逆行列が存在する行列を 『 正則行列 』 という。

A9 ( 逆行列の一意性 )

逆行列は一意である。

証明

A を n 次正則行列とする。

正方行列 A の逆行列が2つ存在すると仮定する。

2つの逆行列をそれぞれ B、B とする。

いま、B=B=B(AB)=(BA)B=I=B である。

つまり、B=B である。

よって、逆行列は1つである。

A10

A、B を n 次正方行列とする。

A、B がともに正則であれば、AB も正則である。

また、(AB)−1=B−1−1 である。

証明

A、B は正則であるから、A−1 と B−1 が存在する。

また、(AB)(B−1−1)=ABB−1−1=AI−1=AA−1=I である。

また、(B−1−1)(AB)=B−1−1AB=B−1B=B−1B=I である。

つまり、B−1−1 は AB の逆行列である。

よって、AB は正則行列である。

補足

明らかに、単位行列 I は正則行列である。

なぜなら、I=I=I が成り立つからである。

この場合、I 自身が I の逆行列である。

A11 ( ブロック分割 )

行列 A、B を小さな行列に分割して、次のように表すことができたとする。



つまり、Aij、Bjr は数字ではなく、行列である。

このとき、AB は次のように表される。

証明

これの証明は行列の積と同様であるから省略する。

その代わり、次の例題で内容を確認しよう。

例題

(1) ブロック分割を用いて、次の行列を計算せよ。



(2) ブロック分割を用いて、次の行列を計算せよ。

(1)の解答

問題の行列を、次のように分割して記号で置き換える。





すると、



それぞれ計算すると、



よって、

(2)の解答

12、O、A22、B12、B21 を全て2次行列とする。



それぞれ計算すると、



よって、