置換の符合

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定義

n 次置換全体を S と表す。

σが n 次置換であることをσ∈S と表す。

B2

ある置換ρ∈S を2通りの互換の積で表すことができたとする。



このとき、r と s の偶奇は一致する。

補足

置換σを互換の積として表す場合、複数の表し方が考えられる。

例えば、



この場合、互換の数は3個と5個の両方が考えられる。

ただし、どのような分解をしても偶奇は一致する。

それを保障するのが、今回の定理である。

B2の準備1

多項式 f(x、x、・・・、x)と 置換σ∈S を考える。

σ、τ∈S とする。

明らかに、σ(τf)=(στ)f である。

つまり、多項式 f をτ置換してからσ置換しても、

τ置換をσ置換してから多項式 f を置換しても、

結果は同じということである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

例えば、次のような多項式 f 、置換σ、τを考える。



このとき、



よって、



よって、σ(τf)=(στ)f である。

B2の準備2

次のような多項式を定義する。



右辺は、1≦ i < j ≦n となる任意の整数 i と j について、x、x の差の積をとることを意味する。

詳しく書くと次のようになる。( 右辺は全て積になっていることに注意 )



具体例として、n=4の場合を考えると、



σが互換であるとすれば、n の値に関係なく σΔ=−Δ であると推測できる。

例えば、先に紹介した n=4 の場合に注目してみよう。

仮にσ=(12)とすると、1 と 2 を入れ替えればよいから、次が成り立つ。

証明

仮定より、



「 B2の準備1 」 で導いた σ(τf )=(στ)f を用いて式変形を行うと、



「 B2の準備2 」 で導いた σΔ=−Δ を用いて式変形を行うと、



これを繰り返すと、



同様に、



よって、



つまり、r と s の偶奇は一致する。

定義 ( 符合 )

置換σを m 個の互換の積で表すことができるとする。

ここで、次のように定義する。



sgn(σ) を 『σの符合 』 という。

既に述べたように、置換σを互換の積に分解する方法は複数存在する。

このとき、

「 分解の仕方に依存してsgn(σ)の値が変わってしまうのでは?」

・・・という疑問が生じる。

しかし、そんなことは起こらないということは既に保障されている。(※B2)

だから、sgn を上のように定義できるのである。

B3

恒等置換 I について、次が成り立つ。



任意の置換σ,τについて、次が成り立つ。

(1)の証明

恒等置換は 0 個の互換の積として考えることができる。

( 2つの同じ互換の積として考えることもできる )

よって、sgn( I )=1 である。

(2)の証明

置換σとτは互換の積として表すことができる。(※B1)

いま、ある互換σ、・・・、σ、τ、・・・、τ が存在して、次のように表せる。(※B1)

(*1) σ=σ・・・σ

(*2) τ=τ・・・τ

いま、τσ=ττs−1・・・τσσr−1・・・σである。

また、sgn(σ)=(−1) であり、sgn(τ)=(−1) である。

以上により、sgn(τσ)=(−1)s+r=(−1)(−1)=sgn(τ)sgn(σ)である。

(3)の証明

I を恒等置換とすると、I =σσ−1 が成り立つ。

(2)、(1)より、sgn(σ−1)sgn(σ)=sgn( I )=1である。

sgn(σ)=(−1) とおくと、sgn(σ−1)(−1)=1 である。

両辺に (−1) をかけると、sgn(σ−1)=(−1) である。

よって、sgn(σ−1)=sgn(σ)である。