行列式の性質(余因子展開による明快な証明)

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参考 ( 概要 )

「 行列式の性質 」 は余因子展開によって直観的に理解できる。

この意味で、余因子展開は行列論において最も重要な定理である。

定義 ( 余因子 )

A を正方行列とする。

A から第 i 行と第 j 列を同時に除去して小行列をつくる。

この小行列の行列式に符号 (−1)i+j を掛けたものを Aij で表す。

この Aij を 『 Aの(i、j)余因子 』 という。

例えば、次の行列について考えよう。



このとき、





P1 ( 余因子展開 )

A=(aij)を n 次行列とする。

この行列式 detA を次のように展開できる。



補足

(1)を 『 第 i 行に沿う余因子展開 』 という。

(2)を 『 第 j 列に沿う余因子展開 』 という。

補足

(1)や(2)において左辺は3次行列式であり、右辺は2次行列式の和である。

つまり、余因子展開は行列式の次数を下げる。

これによって行列式の性質を明快に理解できる。(詳細は後述)

証明

(2)について j=1 の場合を示す。(他の場合も同様に示せる)

次のように書ける。(※定義:3次行列の行列式)

P2 ( 転置行列の行列式 )

転置行列の行列式はもとの行列式に等しい。

証明

転置は成分 aij の添字 i と j を交換することを意味する。

よって、次を得る。(※P1:余因子展開)



上式において(*1)は 「 A の第1列に沿う余因子展開 」 である。

また、(*2)は 「 A の第1行に沿う余因子展開 」 である。

ただし、(*2)は 「 A の第1列に沿う余因子展開 」 と見なせる。

P3 ( 行列式の多重線形性[その1])

次が成り立つ。

補足

つまり、列の和は行列式の和である。

ここでは 「 第1列の和 」 について書いた。

むろん、同様のことは第2列や第3列に対して成り立つ。

また、第1行、第2行、第3行に対しても成り立つ。(※P2)

証明

A=(aij)とおく。

つまり、



いま、次のように書ける。(※P1:余因子展開)

P4 ( 行列式の多重線形性[その2])

次が成り立つ。

補足

つまり、列を k 倍すると行列式の値も k 倍になる。

ここでは 「 第1列の k 倍 」 について書いた。

むろん、同様のことは第2列や第3列に対して成り立つ。

また、第1行、第2行、第3行に対しても成り立つ。(※P2)

証明

A=(aij)とおく。

つまり、



いま、次のように書ける。(※P1:余因子展開)

参考 ( 多重線形性とは? )

上では行列式の多重線形性を示した。

ここで、「 そもそも多重線形性とは? 」 と問う人がいるかもしれない。

これについて説明する。

まず、線形性について説明する。

φ(x)を任意の量とする。

次が成り立つとする。( ただし k はスカラーであるとする )





このとき、「 φは線形性をもつ 」 という。

次に、多重線形性について説明する。

φ(x、・・・、x)を任意の量とする。

次が成り立つとする。( ただし k、・・・、k はスカラーであるとする )





このとき、「 φは n 重線形性をもつ 」 という。

実際、行列式は多重線形性をもつ。

例えば、次のように書ける。(※P4)



この場合、1つの列を1つの変数と見なしている。

つまり、3次行列式は3重線形性をもつ。

P5 ( 行列式の反対称性 )

2つの行(または列)を交換すると、行列式は(−1)倍になる。

証明

まず、2次行列に関して列を交換すると、



次に、3次行列について考える。

とくに、第2列と第3列の交換を考える。(★)

3次行列 A を第1列に沿って展開しよう。

すると、交換(★)は各余因子の列を交換することを意味する。

つまり、(*)により、各項の符号は反転する。

よって、3次行列の場合にも行列式の符号は反転して(−1)倍となる。

このように、余因子展開は2次行列の結果を3次行列に一般化する役割をもつ。

P6

行列式の1つの行(または列)に他の行(または列)の k 倍を加える。

このとき、行列式の値は不変である。

証明

まず、2つの行(または列)の成分が等しい行列式は 0 であることを示す。

いま、次のように書ける。(※P5)



上式右辺を左辺に移行すると、



むろん、行に対しても同様に議論できる。

つまり、行(や列)の成分が等しい行列式は 0 である。(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、1つの列に他の列の k 倍を加える場合を考える。

まず、2次行列について確認する。

(★)より、次を得る。(※P3、P4)



2次行列について示されたので、これは3次行列に一般化できる。(※P1:余因子展開)