行列式の性質〜その1(行列式の多重線形性)

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B6 ( 行列式の多重線形性 )

(1) 第 i 行の各成分が2つの数の和として表されるとき、これを次のように分割できる。



(2) 1つの行を k 倍すると、行列式も k 倍になる。



(3) 2つの行を入れ替えると、行列式は −1倍 になる。



(4) 2つの行が等しい行列について、その行列式の値は 0 である。



(5) 1つの行を定数倍して他の行に加えても行列式の値は変化しない。

補足

(1)〜(5)は 『 行 』 に関する式になっている。

しかし、後のB7と組み合わせれば、『 列 』 に対して同様のことが成り立つ。

(1)の証明

(2)の証明

|A|と|A’|を次のようにおく。



定義(行列式)より、

(3)の証明

|A|と|A’|を次のようにおく。



i と j を入れ替えるのだから、互換の積として ( i j ) を考えればよい。

σとτを n 次置換とし、次のようにおく。



つまり、σは互換( i j )と置換τの積である。

また、互換 ( i j ) は奇置換であるから、sgn ( i j ) =−1 である。

よって、B3 より、



よって、

(4)の証明

行列 A について、 i 行と j 行の成分が等しいとする。

いま、i 行と j 行を入れ替えても、行列の各成分の値は変化しない。

しかし、(3)より、行列式の値は−1倍になる。

よって、|A|=−|A|である。

よって、|A|=0 である。

(5)の証明

(1)、(2)、(4)より、

B7

n 次行列 A について、次が成り立つ。

補足

つまり、行と列を入れ替えても、行列式の値は変わらない。

証明

定義(行列式)より、





また、明らかに、



また、次が成り立つ。(※B3(3))



よって、



τ=σ−1 と置いて記号を置き換えると、



よって、|A|=|A|である。

参考

前にも述べたように、行列式とは、行と列が重ならないように成分を選び、

その全ての組み合わせを考え、符合を付け、和をとったものである。

そう考えると、B6 や B7 が成り立つことは直観的に明らかである。

参考

A=(a、・・・、a) を n 次行列とする。

このとき、次が成り立つ。(※B6、B7)

つまり、これは B6 を列に関する式に書き換えたものである。

こちらの表記も便利である。

ただ、行の基本変形は、後で連立1次方程式の変形で使用する。

なので、このサイトでは行の基本変形を直接に書いた。

B8

n 次行列 A、B について、次が成り立つ。

証明

A、B を n 次行列として、次のように計算する。



( 見易くするために 、・・・、 は太字で表している )

よって、



さらに、次が成り立つ。(※B6(1))



さらに、同様の変形を他の行に対して行うと、( つまり、n 個の膨大な項ができる )



さらに変形すると、次が成り立つ。(※B6(2))



ここで、i、i、・・・、i の中に同じ数が含まれている項は全て 0 になる。

なぜなら、次が成り立つからである。(※B6(4))



よって、n 個の項の中で0以外の値をとる可能性があるのは、i、・・・、i が全て異なるときだけである。

つまり、



そこで、次のような置換を考える。



すると、



いま、次が成り立つ。(※B6(3))



よって、