行列式の公式(正則性⇔行列式≠0)

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復習 ( 余因子展開 )

A=(aij)を n 次行列とする。

この行列式 detA を次のように展開できる。



補足

(1)を 『 第 i 行に沿う余因子展開 』 という。

(2)を 『 第 j 列に沿う余因子展開 』 という。

例えば、次のように計算できる。

復習 ( 行または列の重複 )

同じ行(または列)をもつ行列式の値は 0 である。

定義 ( 余因子行列 )

正方行列 A に対して次のように定義する。



このとき、A を 『 Aの余因子行列 』 という。

つまり、



転置の関係になっていることに注意。

P1 ( 三角行列の行列式 )

(1) 上三角行列の行列式は対角成分の積に等しい。

(2) 下三角行列の行列式は対角成分の積に等しい。

(3) 対角行列の行列式は対角成分の積に等しい。

補足

(3)より、単位行列の行列式は1である。

(1)の証明

次のように計算できる。(※復習:余因子展開)

(2)の証明

次のように計算できる。(※復習:余因子展開)

(3)の証明

次のように計算できる。(※復習:余因子展開)

P2 ( 行列式の乗法性 )

A と B を正方行列とし、これらの次数は同じであるとする。

このとき、

証明

A=(aij)、B=(bij)とおく。

つまり、



次が成り立つ。

P3 ( 区分け定理 )

正方行列 A と B に対して次が成り立つ。

補足

ただし、行列 O は零行列である。

むろん、行列 C と O は正方行列でなくてもよい。

ただし、行列 C と O は適切なサイズの行列であるとする。

例えば、A が3次行列で B が2次行列ならば、C は3×2行列でなければならない。

証明

いま、次が成り立つ。(※普通に計算するだけ)



ただし、行列 I は単位行列である。

また、次が成り立つ。(※復習(余因子展開)の補足)





また、次が成り立つ。(※P1)



よって、次を得る。(※P2)

P4 ( 補題 )

3次正方行列 A に対して次が成り立つ。



(1)の証明

i=j の場合は明らかである。(※復習:余因子展開)

i≠j の場合について考える。

とくに、i=1 と j=2 の場合は次のように書ける。(※復習:行または列の重複)

(2)の証明

よく知られているように detA=det(A) である。

よって、(1)によって明らかである。

P5

正方行列 A に対して次が成り立つ。

証明

いま、



よって、AAの(i、j)成分を次のように書ける。(※P4(1))



つまり、



以上により、AA=|A|I が示された。

P6

A を正方行列とする。

|A|≠0 であるとする。

このとき、A は正則である。

また、その逆行列は、

証明

いま、|A|≠0 である。

よって、次を得る。(※P5)



つまり、A/|A|は A の逆行列である。

P7 ( 正則性⇔行列式≠0 )

正方行列 A に対して次は同値である。

(1) A は正則である。

(2) |A|≠0

証明

(1)を仮定する。

つまり、A は逆行列をもち、AA−1=I である。

よって、|A||A−1|=|AA−1|=|I|=1である。(※P2)

よって、|A|≠0 である。

以上により、(1)⇔(2)が示された。

一方、(2)⇒(1)は既に示されている。(※P6)