行列式の性質〜その2(余因子展開)

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B9 ( 行列の次数下げ )

次が成り立つ。

(1)の証明

左辺の行列式の元となる行列を A とする。

行列式の定義より、



仮定より、a21=a31=・・・=an1=0 である。

σ(1)≠1となる場合について考えよう。

いま、ある k(>1)についてσ(k)=1となる。

つまり、akσ(k)=ak1=0 である。

よって、a1σ(1)2σ(2)・・・anσ(n)=0 である。

結局、σ(1)=1 の項しか残らない。

よって、σは次の形をしたもののみを考えればよい。



よって、

(2) の証明

(1)と同様に証明できる。

あるいは、|A|=|A|を用いればよい。(※B7)

参考

B9 が成り立つことは、行列式の定義を考えれば直観的に明らかである。

前にも述べたように、行列式とは、行と列が重ならないように成分を選び、

その全ての組み合わせを考え、符合を付け、和をとったものである。

もし、1行目で a11 が選ばれなければ、必ず 0 が選ばれるので、その項は 0 になる。

結局、全ての項は a11 を含むというわけである。

ならば、この a11 を外に出すことも可能であろう。

定義 ( 上3角行列、下3角行列 )

次のような行列 A、B を考える。



A のような行列を 『 上3角行列 』 という。

B のような行列を 『 下3角行列 』 という。

B10

上3角行列(または下3角行列)の行列式は、対角成分の積に等しい。

証明

上三角行列 A を次のようにおく。



すると、次が成り立つ。(※B9)



これを繰り返すと、|A|=a11・・・ann である。

B11

A を r 次行列、Bを s 次行列、C を r×s 行列とすると、

証明

n=s+r とおく。

次のようにおく。



いま、



よって、



定義(行列式)によれば、



いま、(*1)が含まれる項は全て 0 になる。

よって、次の場合のみを考えればよい。



いま、



1、・・・、r の置換全体を S’とおく。( つまり(*3)のことである )

r+1、・・・、n の置換全体を S n−r’’ とおく。( つまり(*2)のことである )

いま、σ=σ’σ’’( σ’∈S’、σ’’∈Sn−r’’ ) である。

また、sgn(σ)=sgn(σ’)sgn(σ’’)である。(※B3)

よって、

参考

B11 が成り立つことは行列式の定義をよく考えれば明らかである。

前にも述べたように、行列式とは、行と列が重ならないように成分を選び、

その全ての組み合わせを考え、符合を付け、和をとったものである。

もし、1行目〜r行目までにおいて C の成分を選ぶと、

必ずその項は Os、r からも成分を選ばなければならない。

なので、その項は 0 になる。

定義 ( 余因子 )

A=(aij)を n 次行列とする。

A の第 i 行と第 j 列を取り除いてつくられる (n−1)次行列を Aij と表す。

次のように定義する。



このとき、aij を 『 A に関する aij の余因子 』 という。

例えば、

定義 ( 余因子行列 )

A を n 次行列とする。

次のように定義する。



このとき、A を 『 A の余因子行列 』 という。

つまり、



転置の関係になっていることに注意。

B12 ( 余因子展開 )

A=(aij )を n 次行列とする。

このとき、次が成り立つ。



(1)のように|A|を展開した式を 『 第 i 行に関する余因子展開 』 という。

(2)のように|A|を展開した式を 『 第 j 列に関する余因子展開 』 という。

(1)の証明

次が成り立つ。(※B6(1))



また、次が成り立つ。(※B6(3)、B9)



よって、

(2) の証明

(1)と同様に証明できる。

B13 ( 補題 )

A=(aij)を n 次行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

余因子展開より、次が成り立つ。(※B12)



これは k=i の場合について定理が成り立つことを意味する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、k≠i の場合について考える。

B を、A の第 k 行を第 i 行に置き換えた行列とする。

( つまり、B は同じ行をもつ )

B を第 k 行について余因子展開すると、



一方、|B|=0 である。(※B6(4))

よって、

(2) の証明

(1)と同様に証明できる。

B14 ( 補題 )

A を n 次行列とする。

次のようにおく。



このとき、次が成り立つ。

証明

いま、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

AA の ( i、k ) 成分は、



さらに、次が成り立つ。(※B13)



右辺は|A|I の ( i、k ) 成分を意味している。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A の ( i、k ) 成分は、



さらに、次が成り立つ。(※B13)



右辺は|A|I の ( i、k ) 成分を意味している。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)、(*2)より、

B15

A を正方行列とする。

このとき、次の(1)、(2)は同値である。

(1) A は正則である。

(2) |A|≠0 である。

証明

(1)を仮定する。

いま、A−1が存在して、AA−1=I である。

よって、|A|・|A−1|=|I|=1 である。(※B8)

よって、|A|≠ 0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

B=|A|−1 とおく。

いま、AB=BA=I である。(※B14)

よって、B は A の逆行列である。

よって、A は正則である。

B16 ( 余因子行列による逆行列の計算 )

A を正則行列とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

既に B15 の証明の中で示した。

参考

とくに、B12 と B15 が重要である。