集合と写像(全単射⇔可逆写像)

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定義 ( 集合 )

数学的に規定された要素の集まりを 『 集合 』 という。

例えば、『 1≦n≦3 を満たす自然数 n の全体 』 は 1、2、3 である。

注意

いくつかの基本的な集合に対し、慣用的に次のような記号を用いる。

自然数全体 : N

整数全体 : Z

有理数全体 : Q

実数全体 : R

複素数全体 : C

上では 「 〜全体 」 と書いたが、より正確には 「 〜全体がなす集合 」 という。

これを簡略して 「 〜全体の集合 」、「 〜全体 」 という書物も多い。

このサイトでは 「 〜全体 」 という。

定義 ( 元 )

集合を構成する1つ1つの要素を 『 元(げん)』 という。

x が集合 A の元であるとき、「 x は A に属する 」 といい、x∈A と表す。

定義 ( 外延的記法、内包的記法 )

ある集合について、括弧{ }の中に元を全て書き連ねる方法を 『 外延的記法 』 という。

一方、括弧を縦線で区切って右側に条件を書く方法を 『 内包的記法 』 という。

例えば、『 2乗すると4になる実数全体 』 は次のように2通りに表せる。

(*1) { −2、2 }

(*2) { x|x∈、x=4 }

前者が外延的記法であり、後者が内包的記法である。

ただし、内法的記法では縦線|の代わりにセミコロン ; を用いることもある。

集合を書くとき、{ }の中に同じ元を重複して書いてもよい。

ただし、重複した元は1つの元と見なされる。

例えば、{1、2、3、3、3} は {1、2、3} と見なされる。

また、{ }の中に元を書き並べる順番は自由である。

例えば、{1、3、2} と {1、2、3} は同じ意味である。

{ }の中の右側に条件を書くとき、コンマで区切ることによって複数の条件を書くことができる。

( 既に上の定義の中でも書いた )

また、ある集合の条件の1つに 『 a∈A 』 があるとする。

このとき、{ a∈A | a の条件 } のように表してもよい。

つまり、次の表記は全て同じ意味をもつ。

(*1) { −2、2 }

(*2) { x|x∈、x=4 }

(*3) { x∈|x=4 }

定義 ( 空集合、有限集合、無限集合 )

元が1つも属さない集合を 『 空集合 』 といい、φと表す。

元を有限個だけ含む集合を 『 有限集合 』 という。

そうでない集合を 『 無限集合 』 という。

例えば、 は無限集合である。

定義 ( 集合の相等 )

A、B を集合とする。

A と B の元が一致するとき、「 A と B は等しい 」 という。

このとき、A=B と表す。

定義 ( 部分集合 )

任意の x に対して 「 x∈A⇒x∈B 」 が成り立つとする。

このとき、A⊂B と表す。

また、A を 『 B の部分集合 』 という。

参考

A、B を集合とする。

このとき、『 A=B 』 と 『 A⊂B かつ B⊂A 』 は同じ意味である。(※定義:集合の相等)

つまり、A=B を証明したい場合には、A⊂B と B⊂A を証明すればよいのである。

定義 ( 和集合、共通部分〜その1 )

A、B を集合とする。

A と B の元全体を A∪B と表す。

A と B の元で、共通する元全体を A∩B と表す。

A∪B を 『 A と B の和集合 』 という。

A∩B を 『 A と B の共通部分 』 という。

例えば、A={1、2、3}、B={3、4}とする。

このとき、A∪B={1、2、3、4}である。

また、A∩B={3}である。

定義 ( 差集合 )

A に属して B に属さない元全体を 『 A と B の差集合 』 といい、A−B と表す。

定義 ( 写像 )

X、Y を集合とする。

任意の x∈X に対し、ある y∈Y が一意に定まるとする。

このような対応規則を 『 X から Y への写像 』 という。

定義 ( 定義域、終域 )

f を X から Y への写像とする。

このとき、f:X→Y と表す。

X を 『 f の定義域 』 という。

Y を 『 f の終域 』 という。

各 x∈X に対応する Y の元を f(x)と表す。

f(x)を 『 f による x の値 』 という。

定義 ( 像、逆像 )

f:X→Y を写像とする。

A を X の部分集合とする。

B を Y の部分集合とする。

f(A)={ f(x)∈Y|x∈A } と定義する。

−1(B)={ x∈X|f(x)∈B } と定義する。

このとき、f(A) を 『 f による A の像 』 という。

また、f−1(B) を 『 f による B の逆像 』 という。

f(A) は Y の部分集合である。

−1(B) は X の部分集合である。

定義 ( 値域 )

f:X→Y を写像とする。

このとき、f(X)を 『 f の値域 』 という。

『 f の値域 』 と 『 f の終域 』 を混同しないように注意。

定義 ( 単射 )

f:X→Y を写像とする。

次が成り立つとする。

(*) 任意の x、x’∈X に対して 「 x≠x’⇒f(x)≠f(x’) 」 である。

このとき、「 f は単射である 」 という。

上の(*)の対偶を考えて、次のように表してもよい。

(**) 任意の x、x’∈X に対して 「 f(x)=f(x’) ⇒ x=x’ 」 である。

実際に f が単射であることを示す場合にはこちらの方がよく用いられる。

定義 ( 全射 )

f:X→Y を写像とする。

任意の y∈Y に対し、ある x∈X が存在して、f(x)=y となるとする。

このとき、「 f は全射である 」 という。

つまり、f が全射であることは f(X)=Y を意味する。

定義 ( 全単射 )

全射かつ単射の写像を 『 全単射 』 という。

定義 ( 逆写像 )

f:X→Y を全単射とする。

いま、任意の y∈Y に対し、ある x∈X が存在して、y=f(x)となる。

つまり、任意の y∈Y に対し、一意に x∈X が定まる。

そこで、f−1:Y→X を f−1(y)=x で定義する。

このとき、f−1 を 『 f の逆写像 』 という。

定義 ( 恒等写像 )

:X→X を I(x)=x で定義する。

このとき、I を 『 恒等写像 』 という。

定義 ( 合成写像 )

f:X→Y、g:Y→Z を写像とする。

いま、任意の x∈X に対し、f(x)∈Y が定まる。

また、f(x)∈Y に対し、g(f(x))∈Z が定まる。

つまり、任意の x∈X に対し、g(f(x))∈Z が定まる。

そこで、g*f:X→Z を g*f(x)=g(f(x))で定義する。

このとき、g*f を 『 f と g の合成写像 』 という。

S1

f:X→Y を全単射とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (f−1−1=f

(2) f−1*f=I、f*f−1=I

証明

明らかである。

定義 ( 可逆写像 )

f:X→Y を写像とする。

ある写像 g:Y→X が存在して、次を満たすとする。

(*1) g*f=I

(*2) f*g=I

このとき、f を 『 可逆写像 』 という。

明らかに、全単射は可逆写像である。(※S1)

逆に、可逆写像は全単射である。

このことは次の定理で示される。

S2 ( 全単射⇔可逆写像 )

f:X→Y を可逆写像とする。

g:Y→X を定義(可逆写像)の意味でとる。

このとき、f は全単射であり、g=f−1 である。

補足

つまり、可逆写像と全単射は同値である。

証明

f(x)=f(x’)とする。

いま、g(f(x))=g(f(x’))である。

つまり、g*f(x)=g*f(x’)である。

よって、I(x)=I(x’)である。

よって、x=x’である。

以上により、f は単射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

y∈Y とおく。

いま、f(g(y))=f*g(y)=I(y)=y である。(★)

つまり、任意の y∈Y に対し、ある x∈X が存在して、f(x)=y となる。

つまり、f は全射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、f は全単射である。

(★)の両辺を f−1 で写すと、g(y)=f−1(y)である。

つまり、g=f−1 である。

参考

f:X→Y と g:Y→X を全単射とする。

g*f=I であるとする。

このとき、g= f−1 であり、f=g−1 である。

証明

同様のことは f*g= I の場合についても成り立つ。

証明

g*f(x)=x であるから、g(f(x))=x である。

つまり、g は f(x)に x を対応させる写像である。

これは g=f−1 を意味する。(※定義:逆写像)

また、g−1= (f−1−1=f である。(※S1)