線形代数インデックス

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線形代数の主なテーマは次のようになっている。

(*1) 連立1次方程式、階数(ランク)

(*2) 表現行列、基底変換行列

(*3) 行列の対角化、線形変換の対角化

連立1次方程式は 『 統計学 』 などで有用である。

表現行列は 『 テンソル 』 の基礎となる。

基底変換行列は 『 幾何学 』 などで有用である。

行列の対角化、線形変換の対角化は 『 固有値問題 』 への入口である。

固有値問題は、機械、経済、工学、物理、化学など、様々な分野に関連する。




第0章(S) 参考

□ 線形代数の論理構造
□ 集合と写像(全単射⇔可逆写像)

第1章(A) 行列

□ 行列、行列の計算
□ 行列の基本的な性質
□ 転置行列、正則行列・逆行列

第2章(B) 行列式

□ 置換の定義
□ 置換の符合
□ 行列式の定義

★ 行列式の性質〜その1(行列式の多重線形性)
★ 行列式の性質〜その2(余因子展開)

第3章(C) 連立1次方程式

□ 基本変形、rank
□ 連立1次方程式
□ クラメルの公式、逆行列の計算

第4章(D) ベクトル空間

★ ベクトル空間の公理、部分空間
※ ベクトル空間の具体例

□ 1次従属、1次独立、ベクトル空間の次元
□ 1次従属、1次独立(3次元)

★ 線形写像、同型写像
□ 次元定理(線形写像の基本定理)

□ 線形写像のrank

第5章(E) 表現行列

□ 行列によって定められる線形写像、基底によって定められる同型写像

★ 表現行列
□ 基底変換行列

以下の3ページは分岐しているので、どのページからでも読める。

□ 表現行列と基底変換行列の基本的性質
□ 同型写像⇔「表現行列は正則」
□ 座標変換公式

第6章(F) 行列の対角化

□ 行列の対角化(固有値がすべて異なる場合)

□ 部分空間の和
□ 部分空間の直和

□ 行列の対角化(同値条件)

第7章(G) 線形変換の対角化

□ 線形変換の対角化(準備)
□ 線形変換の対角化(同値条件)

第*章(Z) 追加事項(ジョルダン標準形)

□ ジョルダン標準形:証明までの流れ

□ 三角化定理、フロベニウスの定理、ケイリー・ハミルトンの定理
□ 射影子

□ 不変部分空間(表現行列が直和ならば固有多項式は積)
□ 巾零部分空間、安定部分空間
□ 一般固有空間

□ 巾零と安定による直和分解
□ 巾零による直和分解

□ 巾零変換、ジョルダン図式
□ 巾零変換、ヤング図形
□ ジョルダン標準形

※ ジョルダン標準形による行列の巾乗計算

□ ジョルダン分解(SN分解)
□ 最小多項式とジョルダン標準形