学問の閃光

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参考

このページでは大学の理系科目の内容をコンパクトに素早く紹介する。

とくに、直観的に分かりやすい内容を重点的に紹介する。

参考 ( 微分 )

関数 f(x) を 0 から x まで積分した関数を F(x) とする。

つまり、



むろん、F(x) は f(x) の面積を意味する。

つまり、変数 x の増加に伴い、f(x)の面積が増加する。

F(x)の微分は f(x) の面積が増加する速度を意味する。

よく知られているように、微分の物理的な意味は 『 速度 』 である。

ただし、物体の速度は1次元的であるから視覚化が難しい。

そこで、上の説明では階層を1つ上げて総量の変化に置き換えることで微分を視えるようにした。

参考 ( 逆行列 )

行列 A に対し、ある行列 B が存在して AB=BA=I ( I は単位行列 ) となるとする。

このとき、行列 B を A−1 と表す。

この A−1 を 『 A の逆行列 』 という。

2次行列 A の逆行列は次のように表される。



実際、積を計算すると単位行列になることが分かる。

ただし、上記の公式は2次行列の場合にのみ適用される。

3次以上の逆行列は 『 余因子行列 』 または 『 掃き出し法 』 によって求められる。

参考 ( 行列式 )

行列 A に対して次のように定義する。



このとき、|A|を 『 A の行列式 』 という。

行列式の表記法は次のように複数ある。

つまり、行列式は 『 行列 』 を 『 方程式 』 に変換する操作である。

つまり、行列式は 『 行列の理論 』 と 『 中学の方程式 』 を結び付ける。

実は、detA≠0 と 「 A は逆行列をもつ 」 は同値である。

つまり、行列式が 0 になるか否かは重要な情報であり、その判定に方程式の理論を適用できる。

参考 ( 1次独立 )

、b、c をベクトルとする。

+c+c=0 を満たす係数は(c、c、c)=(0、0、0)のみであるとする。

このとき、「 a、b、c は1次独立である 」 という。

大雑把に言うと、1次独立とは 「 ベクトルが別方向を向いている 」 を意味する。(★)

例えば、次のようなベクトル e+e+e を考える。



このとき、次を満たす係数 c、c、c は何であろうか?



明らかに、これは(c、c、c)=(0、0、0)のみである。

つまり、 e+e+e は1次独立である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

では、次のベクトルはどうであろうか?



つまり、A、B、C は同一平面内 ( xy平面内 )にある。

一見すると、これは(★)によって1次独立であるように思えるかもしれない。

しかし、これらのベクトルは1次独立ではない。

主張(★)は直感的に受け入れやすいが、今回のような誤解を伴う可能性もある。

これを確認するため、次の関係を考える。



むろん、(c、c、c)=(0、0、0)は(*)を満たす。

ただし、(c、c、c)=(2、3、1)も(*)を満たす。

よって、A、B、C は1次独立ではない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

これは直観的には次のように理解できる。



つまり、C と 2A+3B が同じ直線上に乗ってしまう。

この意味で、実はベクトル A、B、C の向きはバラバラではない。

むろん、C=−(2A+3B)である。

つまり、C は A と B の1次結合で実現できてしまう。

この意味で、実は本質的なベクトルの数は2個だけである。

このように、あるベクトルを他のベクトルで表せるとき、これらのベクトルは 「 1次従属である 」 という。

参考 ( n次元ベクトル空間 )

参考(1次独立)に書いた議論によって次が分かる。

(*1) 平面内で3つ以上のベクトルが1次独立となることはない。

あるいは、次のように言い換えられる。

(*2) 平面内で1次独立となるベクトルは最大で2個である。

1次独立となるベクトルの個数が最大で n 個であるとき、その空間を 『 n次元ベクトル空間 』 という。

つまり、平面は2次元ベクトル空間である。

参考 ( n次元なんて必要ですか? )

大学の講義では 『 n次元 』 が登場する。

例えば 『 n次元ベクトル空間 』 や 『 n変数関数 』 などである。

このとき、

「 現実の世界は3次元なのだから、n次元など考えても意味ないのでは? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、これは間違いである。

実際には n 次元を議論する場面は物理・化学・経済学において普通に登場する。

例えば、複数の原子から成る分子のポテンシャル u(r) を考えてみよう。

原子核が2個のみである場合、u(r)は核間距離を変数とする曲線である。

原子核が複数ある場合、u(r)は多次元の曲面となる。

参考 ( ヘッセ行列 )

f(x、y)を2変数関数とする。

次のように定義する。



このとき、H を 『 ヘッセ行列 』 という。

つまり、ヘッセ行列は関数の2次微分を要素とする行列である。

実は、次が成り立つ。

(1) detH>0 かつ fxx(a、b)>0 ならば、f(x、y) は点 (a、b) において極小である。

(2) detH>0 かつ fxx(a、b)<0 ならば、f(x、y) は点 (a、b) において極大である。

(3) detH<0 ならば、f は点 (a、b) において極値をとらない。

つまり、ヘッセ行列によって極大・極小を判定できる。

ここでは2次元の場合について書いたが、ヘッセ行列は n 次元に拡張できる。

例えば、ヘッセ行列は量子化学の理論において有用である。

これについて説明しよう。

原子集団の物理的に安定な構造を 『 平衡構造(EQ)』 という。

EQ はポテンシャル表面の極小点として表される。

むろん、EQ は1つではなくて複数存在する。

また、反応経路は EQ と EQ を結ぶ曲線として表される。

その曲線の極大点を 『 遷移状態(TS)』 という。

ただし、これは曲線(反応経路)における極大点であることに注意する。

つまり、ポテンシャル表面を 『 曲面 』 として見た場合、この TS は 『 鞍点 』 である。

つまり、TS は反応経路に沿って極大であり、反応経路と直交する方向には極小である。

つまり、一方向に関してのみ2次微分が負となる。

一方向に関してのみ2次微分が負となる領域を 『 TS領域 』 という。

これを調べることによって遷移状態を探索できる。

参考 ( 行列式の性質 )

行列式の行(または列)を入れ替えると符合が反転する。

例えば、次の行列式の行を入れ替えてみよう。



すると、

参考 ( 素粒子論と量子場理論の入口〜ボソンとフェルミオン )

ミクロな粒子の位置は確率的に記述される。

これは粒子が小さいために位置を正確に測定できないという議論とは別である。

つまり、粒子の位置は本質的に確率的に記述される。

よって、接近した2つの同種粒子を区別することはできない。

よって、同種粒子が衝突すると、その前後では粒子を区別できない。

つまり、次の2つを区別できない。



つまり、同種粒子を入れ替えても物理的な状態は変化しない。

さて、よく知られているように、量子力学では粒子の状態は波動関数によって記述される。

ただし、波動関数のスカラー倍の違いは無視してよい。

つまり、定数倍だけ異なる波動関数は同じ状態を表していると考える。

波動関数の変数は粒子の位置 r や内部自由度σである。

これらをまとめて q=(r、σ) と表す。

粒子1に伴う変数を q とし、粒子2に伴う変数を q とする。

つまり、波動関数は ψ(q、q) である。

また、量子力学では粒子の存在確率分布は波動関数の2乗で表される。

同種粒子を入れ替えても物理的状態は変化しないから|ψ(q、q) |=|ψ(q、q) | である。

つまり、ψ(q、q) =±ψ(q、q) である。

ψ(q、q)=+ψ(q、q) を 『 対称性 』 という。

ψ(q、q)=−ψ(q、q) を 『 反対称性 』 という。

対称性を満たす粒子を 『 ボール粒子(ボソン)』 という。

反対称性を満たす粒子を 『 フェルミ粒子(フェルミオン)』 という。

ボース粒子として 「 光子、π中間子 」 などが知られている。

フェルミ粒子として 「 電子、陽子、中性子、ニュートリノ 」 などの素粒子が知られている。

内部自由度として 『 スピン 』 と呼ばれる量がある。

これによって次のように区別できる。

(*) 整数スピンの粒子はボース粒子である。

(*) 半整数スピンの粒子はフェルミ粒子である。

とくに、電子スピンが ±1/2 であることは有名である。

また、量子場理論と統計物理学では次が示される。

(*) ボース粒子はボース・アインシュタイン統計に従う。

(*) フェルミ粒子はフェルミ・ディラック統計に従う。

参考 ( スレイター行列 )

ψ(q、・・・、q)を多電子関数の波動関数とする。

これを1電子関数に分解すれば議論が簡単になる。

どのように分解すればよいだろう?

ψ(q、・・・、q)=φ(q)・・・φ(q)とすればよいだろうか?

しかし、これは電子がフェルミ粒子であるという性質が考慮されていない。

つまり、反対称性 ψ(q、q)=−ψ(q、q) が満たされない。

そこで、次のように定義する。



これを 『 スレイター行列式 』 という。

この定義は反対称性を満たす。

実際、

参考 ( 振り子 )

よく知られているように、振り子は 『 等時性 』 をもつ。

つまり、振り子の周期は、振幅に依存せず、一定である。

このことは小学校や中学校の理科で学ぶ。

ただし、等時性は振幅が小さい場合についてのみ成り立つ。

このことは第1種積分によって記述される。

ちなみに、厳密に等時性を満たす振り子として 『 サイクロイド振り子 』 がある。

参考 ( 光 )

光とは電磁波である。

電磁波とは電場と磁場の変動である。

次はいずれも同じ意味である。

(*1) 電磁波の振動数が大きい。

(*2) 電磁波の波長が小さい。

(*3) 電磁波のエネルギーが大きい。

光のエネルギーは hν (νは振動数) と表される。

ここで、記号 h=6.62×10−34Js を 『 プランク定数 』 という。

単位 J=kg・m・s−2=N・m を 『 ジュール 』 という。

電磁波は振動数の違いによって名称が分類される。

振動数が小さいものから順番に並べると次のようになる。

(*) 電波<赤外線<可視光線<紫外線<X線<ガンマ線

参考 ( 電磁波 )

よく知られているように、電流が流れると周囲に磁場が発生する。

逆に、磁場が発生すると周囲に電場が発生する。

いま、金属棒中で上向きに電子が動くとする。

すると、その周りに電場が発生する。

その電場に対して磁場が発生する。

その磁場に対して電場が発生する。

つまり、電場と磁場が交互に現れる。

さらに、金属棒中の電子が上下に振動させてみよう。

すると、電場と磁場の変動が続く。

このようにして電磁波が発生する。



むろん、この電磁波を受け取ると、その金属棒中の電子が変動する。

これがアンテナの仕組みである。

参考 ( 静電場エネルギー )

単位体積あたりの静電場エネルギーは u=(1/2)ε で表される。

静電気力や重力は空間のひずみに起因するとする見方がある。

これを 『 近接作用 』 という。

これはバネに似ている。

縮んだバネは伸びるときに仕事をする。

つまり、バネのひずみがエネルギー (1/2)kΔx を蓄えている。

これは式 u=(1/2)ε と同じ形をしている。

参考 ( 原子 )

高校や中学では、原子の構造として、原子核の周りを電子がクルクルと回るモデルを教えられる。

実は、これは正しい原子の姿ではない。

実際の原子では、原子核の周囲に電子が確率的に分布している。

とくに水素原子の場合について図示すると、次のようになる。

これは 「 電子の動きが速くて複雑だから確率でしか表せない 」 という意味ではない。

ミクロの世界では電子の位置は本質的に確率的に記述されるということである。

いきなり 「 電子の存在位置は確率的にしか表現できない 」 と言われても戸惑うかもしれない。

しかし、これを知ること(受け入れること)が量子力学の第一歩である。

むろん、もう少し詳しいことは量子力学や量子化学で議論される。

参考 ( 原子軌道 )

原子軌道はシュレディンガ方程式を解くことで得られる。

ただし、その解は1つではない。

つまり、原子軌道は複数個存在する。

それらは次の値によって区別できる。

(*1) 主量子数 : 軌道のエネルギーを決める。

(*2) 方位量子数 : 軌道の形状を決める。

(*3) 磁気量子数 : 外部磁場に対するエネルギー固有値の分裂を決める。

ただし、水素原子以外の多電子原子の場合は方位量子数もエネルギーに関与する。

なぜなら、複数の電子がある場合には、電子間の相互作用があるからである。

多電子原子の場合、一般に方位量子数 l が大きいほどエネルギーが大きくなる。

主量子数を n で、方位量子数を l で、磁気量子数を m で表す。

方位量子数 l=0、1、2、3、4、・・・ に対して s、p、d、f、g と名付ける。

例えば、(n、l)=(1、0)の場合を 『 1s軌道 』 という。

また、(n、l)=(2、0)の場合を 『 2s軌道 』 という。

また、(n、l)=(2、1)の場合を 『 2p軌道 』 という。

参考 ( 分子軌道 )

各原子がもつ原子軌道が相互作用すると分子軌道が形成される。

ただし、相互作用は 「 同じ位相(+と+)」 と 「 異なる位相(+と−)」 の2種類がある。

+と+の相互作用から成る分子軌道を 『 結合性軌道 』 という。

+と−の相互作用から成る分子軌道を 『 反結合性軌道 』 という。

結合性軌道は原子軌道よりエネルギーが小さく、反結合性軌道は原子軌道よりエネルギーが大きい。

結合性軌道では原子間の電子の存在確率が大きい。

よって、結合性軌道に電子が入ると原子核の反発が遮蔽され、分子全体として安定する。

反結合性軌道では原子間の電子の存在確率が小さい。

よって、原子核の反発は軽減されず、不安定となる。

例えば、水素分子では1s軌道と1s軌道が相互作用して、1σと1σ を形成する。



このような図を 『 エネルギーダイアグラム 』 という。

各軌道の位置関係はエネルギー準位を意味している。

つまり、結合性軌道 1σ のエネルギーは元の原子軌道 1s より大きく、安定である。

一方、反結合性軌道 1σ のエネルギーは 1s より小さく、不安定である。

むろん、H は等核二原子分子である。

他にも異核二原子分子を議論できる。

例えば、水素化リチウムでは 『 水素原子の1s軌道 』 と 『 リチウム原子の2s軌道 』 が相互作用する。

ここで、

「 水素原子の1s軌道とリチウム原子の1s軌道が相互作用するのではないのか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、リチウムの1s軌道がもつエネルギーは水素原子の1s軌道より小さい。

よって、リチウムの1s軌道は相互作用せず、ほとんどそのまま残る。



リチウム原子の1s軌道の方がエネルギーが小さい理由は、リチウムの方が陽子を多くもつからである。

つまり、原子核の正電荷が大きいので電子のポテンシャルエネルギーが減少して安定化する。

上図ではリチウム原子の1s軌道に由来する分子軌道を1σと表している。

むろん、1σ軌道はリチウム原子の1s軌道と概ね同じであり、リチウム原子に局在している。

参考 ( 量子化学計算法 )

量子化学計算法として次の2つがある。

(1) 分子軌道法(MO法)

(2) 密度汎関数法(DFT法)

MO法は分子軌道を求める方法である。

DFT法はエネルギーを電子密度(汎関数)として計算する方法である。

MO法としては 『 SCF法(ハートリー・フォック法)』 が有名である。

2000年頃からDFT法も注目されてきた。

SCF法はフォック演算子に伴う固有方程式の解として1電子関数を求める方法である。

多電子系の1電子関数を決定する方程式は変分法によって導出できる。

ただし、この微分方程式を簡単に解くことはできない。

なぜなら、この微分方程式の演算子は1電子関数を含むからである。

つまり、解くべき方程式の中に求める解が含まれている。

つまり、開きたい箱の中に開くための鍵が含まれていて、その鍵自体が求めるものである。

そこで、ハートリーは解くべき方程式の近似式を出した。

これを解いて近似解を求め、この近似解によって次の近似式を求める。

これを繰り返すと、方程式と解がほとんど変化しなくなる。

つまり、方程式と解が自己整合 ( self-consistent ) となる。

これが名称の由来である。

つまり、SCF ( self-consistent field ) である。

参考 ( 融点 )

沸点とは液体が気体に変化するときの温度である。

つまり、沸点とは分子間力を切るために分子が必要とするエネルギーを反映している。

つまり、液体中の分子間力が大きいほど沸点は大きくなる。

融点も同様である。

つまり、固体中の分子間力が大きいほど融点は大きくなる。

例えば、メタン、エタン、プロパン、ブタンの沸点を比較してみよう。

これらの沸点は メタン<エタン<プロパン<ブタン である。

溶液の場合、分子間力を決める因子として 『 分子量 』 と 『 極性 』 がある。

極性とは電気的な bias (偏り) を意味する。

ただし、飽和炭化水素は極性をもたない。

よって、飽和炭化水素の沸点は分子量の大きさで決まる。

一方、水とエタンの沸点は、エタン(185K)<水(373K) である。

分子量はエタンの方が大きいが、水の方が沸点が圧倒的に大きい。

この理由は、水分子が極性をもつからである。

とくに、水は 『 水素結合 』 をもつ。

つまり、実は、水は(分子量の割に)蒸発しにくい物質である。

メタン、アンモニアの融点は、メタン(91K)<アンモニア(195K) である。

これはアンモニアが孤立電子対によって極性をもつからである。



既に述べたように、分子軌道は原子軌道の相互作用から成る。

ただし、原子軌道の対称性やエネルギーが異なる場合には相互作用しない。

実は、アンモニアは窒素原子がもつ原子軌道で水素原子と(ほとんど)相互作用しないものがある。

むろん、これは上図のように窒素原子に局在する。

塩素、ナトリウム、塩化ナトリウム融点は Cl(172K)<Na(371K)<NaCl(1073K) である。

塩素の分子間力は 『 ファン・デル・ワールス力 』 が主である。

ただし、一般にファン・デル・ワールス力は大きな力ではない。

ナトリウムの分子間力は 『 金属結合 』 である。

塩化ナトリウムの分子間力は 『 イオン結合 』 である。

意外に思えるかもしれないが、塩化ナトリウムの融点は高い。

ちなみに、金属ナトリウムはナイフで切れるが、空気に接すると発火する可能性がある。

これは空気中の水分と反応するからである。

ゆえに、ナトリウムは石油中で保管される。

参考 ( エンタルピー、自由エネルギー )

H=U+PV を 『 エンタルピー 』 という。( ただし U は系の内部エネルギーである )

A=U−TS を 『 ヘルムホルツ自由エネルギー 』 という。

G=H−TS を 『 ギブズ自由エネルギー 』 という。

上記の定義は意味不明に視えるかもしれない。

しかし、実は、次のように分かりやすい結果が成り立つ。

(1) 定積変化に伴って系に流入する熱量は ΔU である。

(2) 定圧変化に伴って系に流入する熱量は ΔH である。

(3) 孤立系における系の自発的変化では ΔS>0 となる。

(4) 等温定積における系の自発的変化では ΔA<0 となる。

(5) 等温定圧における系の自発的変化では ΔG<0 となる。

とくに、実験室は等温定圧なので化学ではギブズエネルギー G が有用である。

参考 ( 化学ポテンシャル )

熱力学の世界では化学ポテンシャルμという量が有用である。

等温定圧において相αとβが平衡であるとき、物質 i に対してμ(α)=μ(β) である。

等温定圧において 「 相αからβへ物質 i が移動する 」 と 「μ(α)=μ(β)」 は同値である。

つまり、物質は化学ポテンシャルが高いところから低いところへ移動する。

これが 「 化学ポテンシャル 」 という名称の由来である。

参考 ( エネルギー )

「 エネルギーがとは何か?」 という問は難しい。

世界中の理工図書を調べても万人が納得する解答を得ることはできないであろう。

ただし、よく知られている側面もある。

とくに、物理学の世界では広く 『 エネルギー保存則 』 が成り立つ。

ただし、エネルギー保存則は1つの式で表されるものではない。

実際には、物理学の各分野で表現が異なる。

まず、力学では 「 運動エネルギーと位置エネルギーの和 」 が保存されることが知られている。

これを 『 力学的エネルギー保存則 』 という。

また、熱力学では 「 熱量と力学的エネルギー 」 が等価であることが知られている。

これを 『 熱力学第1法則 』 という。

また、特殊相対性理論では静止物体がエネルギー E=mc をもつことが知られている。

E=mc は 「 質量とエネルギーは等価である 」 という主張である。

以上の主張はいずれもエネルギー保存則の1つの表現である。

参考 ( 基本法則 )

力学の基本方程式は 『 運動方程式 』 である。

量子力学の基本方程式は 『 シュレディンガ方程式 』 である。

電磁気学の基本方程式は 『 マクスウェル方程式 』 である。

相対性理論の基本方程式は 『 重力場方程式(アインシュタイン方程式)』 である。

むろん、基本方程式の解は条件によって異なる。

例えば、シュレディンガ方程式に課せられる基本的な束縛条件は 『 境界条件 』 である。

参考 ( 変換 )

ニュートン力学は 『 ガリレイ変換 』 に対して不変な理論である。

電磁気学や相対性理論は 『 ローレンツ変換 』 に対して不変な理論である。

素粒子論は 『 ゲージ変換 』 に対して不変な理論である。

参考 ( 相対性理論 )

E=mc は特殊相対性理論によって導かれる。

特殊相対性理論の舞台は 『 ミンコフスキ時空 』 である。

ミンコフスキ時空は通常の3次元空間に 「光速×時間」を追加した(ct、x、y、z)である。

特殊相対性理論に対して重力を考慮した理論を 『 一般相対性理論 』 という。

一般相対性理論の舞台は 『 ローレンツ多様体 』 である。

一般相対性理論において重力の効果は多様体の歪曲によって表される。

ここで、次の(1)〜(4)は同じ意味である。

(1) 歪曲された空間は局所的には平坦な空間と見なせる。

(2) ローレンツ多様体は局所的にミンコフスキ空間と見なせる。

(3) ローレンツ多様体の計量は局所的にミンコフスキ計量に一致する。

(4) 落下を始めた人間は最初の段階で無重力であるかのように感じる。

参考 ( 距離空間 )

3次元ユークリッド空間(x、y、z)は高校数学で知られている。

3次元ユークリッド空間において2点 x=(x、x、x) と y=(y、y、y)の距離は次式によって与えられる。



さらに、議論を n 次元へ一般化することもできる。

つまり、2点 x=(x、・・・、x) と y=(y、・・・、y)の距離を次のように定義する。



これを 『 n次元ユークリッド空間 』 という。

明らかに、n次元ユークリッド空間に対して次が成り立つ。



逆に、これらを公理として採用した空間を 『 距離空間 』 という。

ここで、

「 導いたものを公理として採用するとはどういうことか? 」

・・・という疑問をもつ人がいるかもしれない。

しかし、これは特殊な議論ではない。

同様のことは物理学などにおいても見られる。

例えば、様々な実験を行い、物理現象(物体の衝突など)を観察してみよう。

むろん、そこには様々な法則(運動量保存則など)が見出される。

しかし、その中にも広く成り立つ基本的な法則があることが分かる。

むろん、それはニュートンの法則である。

そこで、逆に、ニュートンの法則を要請(これは数学の公理に相当する)として採用してみよう。

すると、その他の法則はすべてニュートンの法則から導かれることが分かる。

参考 ( 超関数 )

普通の微分では 「 尖った点 」 や 「 不連続点 」 は微分できない。

ただし、超関数の立場では微分を定義できる場合もある。