線形の直観

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参考

このページでは線形代数について直観的に説明する。

参考 ( 逆行列 )

行列 A に対し、ある行列 B が存在して AB=BA=I ( I は単位行列 ) となるとする。

このとき、行列 B を A−1 と表す。

この A−1 を 『 A の逆行列 』 という。

2次行列 A の逆行列は次のように表される。



実際、積を計算すると単位行列になることが分かる。

ただし、上記の公式は2次行列の場合にのみ適用される。

3次以上の逆行列は 『 余因子行列 』 または 『 掃き出し法 』 によって求められる。

参考 ( 行列式 )

行列 A に対して次のように定義する。



このとき、|A|を 『 A の行列式 』 という。

行列式の表記法は次のように複数ある。

実は、detA≠0 と 「 A は逆行列をもつ 」 は同値である。

つまり、行列式が 0 になるか否かは重要な情報であり、その判定に方程式の理論を適用できる。

参考 ( 転置行列 )

次のように定義する。



このとき、A を 『 Aの転置行列 』 という。

A を A と表す本もある。

参考 ( 交代行列 )

A=−A を満たす行列 A を 『 交代行列 』 という。

つまり、aij=−aji である。

このように添字を入れ替えると符合が反転する性質を 『 交代性(反対称性)』 という。

また、交代行列の対角成分は必ず 0 になる。

なぜなら、aii=−aii だからである。

結局、上記の交代行列 A は次のように表せる。

では、どのような状況で交代行列が登場するのだろうか?

先に結論を言うと、交代行列は 『 座標やベクトルの回転 』 を議論するときに自然に登場する。

例えば、点(a、b)を原点まわりに π/2 だけ回転させてみよう。

すると、回転後の座標は(−b、a)である。



一方、





よって、



つまり、行列 A[π/2] は座標を π/2 だけ回転させる。

さらに一般化して、θ回転させる行列は次のように表される。(証明省略)



このような行列 A[θ] を 『 回転行列 』 という。

実際、θ=π/2 とすると、A[θ] は A[π/2] となる。

明らかに、A[θ] や A[π/2] は交代行列である。

参考 ( 対称行列 )

A=A を満たす行列 A を 『 対称行列 』 という。

例えば、次のような変換は対称行列で表される。



このような変換は 『(連続体力学)の歪みテンソル 』 や 『(相対性理論の)ローレンツ変換 』 で登場する。

参考 ( 1次独立 )

、b、c をベクトルとする。

+c+c=0 を満たす係数は(c、c、c)=(0、0、0)のみであるとする。

このとき、「 a、b、c は1次独立である 」 という。

大雑把に言うと、1次独立とは 「 ベクトルが別方向を向いている 」 を意味する。(★)

例えば、次のようなベクトル e+e+e を考える。



このとき、次を満たす係数 c、c、c は何であろうか?



明らかに、これは(c、c、c)=(0、0、0)のみである。

つまり、 e+e+e は1次独立である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

では、次のベクトルはどうであろうか?



つまり、A、B、C は同一平面内 ( xy平面内 )にある。

一見すると、これは(★)によって1次独立であるように思えるかもしれない。

しかし、これらのベクトルは1次独立ではない。

主張(★)は直感的に受け入れやすいが、今回のような誤解を伴う可能性もある。

これを確認するため、次の関係を考える。



むろん、(c、c、c)=(0、0、0)は(*)を満たす。

ただし、(c、c、c)=(2、3、1)も(*)を満たす。

よって、A、B、C は1次独立ではない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

これは直観的には次のように理解できる。



つまり、C と 2A+3B が同じ直線上に乗ってしまう。

この意味で、実はベクトル A、B、C の向きはバラバラではない。

むろん、C=−(2A+3B)である。

つまり、C は A と B の1次結合で実現できてしまう。

この意味で、実は本質的なベクトルの数は2個だけである。

このように、あるベクトルを他のベクトルで表せるとき、これらのベクトルは 「 1次従属である 」 という。

参考 ( n次元ベクトル空間 )

参考(1次独立)に書いた議論によって次が分かる。

(*1) 平面内で3つ以上のベクトルが1次独立となることはない。

あるいは、次のように言い換えられる。

(*2) 平面内で1次独立となるベクトルは最大で2個である。

1次独立となるベクトルの個数が最大で n 個であるとき、その空間を 『 n次元ベクトル空間 』 という。

つまり、平面は2次元ベクトル空間である。

参考 ( n次元なんて必要ですか? )

大学の講義では 『 n次元 』 が登場する。

例えば 『 n次元ベクトル空間 』 や 『 n変数関数 』 などである。

このとき、

「 現実の世界は3次元なのだから、n次元など考えても意味ないのでは? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、これは間違いである。

実際には n 次元を議論する場面は物理・化学・経済学において普通に登場する。

例えば、複数の原子から成る分子のポテンシャル u(r) を考えてみよう。

原子核が2個のみである場合、u(r)は核間距離を変数とする曲線である。

原子核が複数ある場合、u(r)は多次元の曲面となる。

参考 ( ヘッセ行列 )

f(x、y)を2変数関数とする。

次のように定義する。



このとき、H を 『 ヘッセ行列 』 という。

つまり、ヘッセ行列は関数の2次微分を要素とする行列である。

実は、次が成り立つ。

(1) detH>0 かつ fxx(a、b)>0 ならば、f(x、y) は点 (a、b) において極小である。

(2) detH>0 かつ fxx(a、b)<0 ならば、f(x、y) は点 (a、b) において極大である。

(3) detH<0 ならば、f は点 (a、b) において極値をとらない。

つまり、ヘッセ行列によって極大・極小を判定できる。

ここでは2次元の場合について書いたが、ヘッセ行列は n 次元に拡張できる。

例えば、ヘッセ行列は量子化学の理論において有用である。

これについて説明しよう。

原子集団の物理的に安定な構造を 『 平衡構造(EQ)』 という。

EQ はポテンシャル表面の極小点として表される。

むろん、EQ は1つではなくて複数存在する。

また、反応経路は EQ と EQ を結ぶ曲線として表される。

その曲線の極大点を 『 遷移状態(TS)』 という。

ただし、これは曲線(反応経路)における極大点であることに注意する。

つまり、ポテンシャル表面を 『 曲面 』 として見た場合、この TS は 『 鞍点 』 である。

つまり、TS は反応経路に沿って極大であり、反応経路と直交する方向には極小である。

つまり、一方向に関してのみ2次微分が負となる。

一方向に関してのみ2次微分が負となる領域を 『 TS領域 』 という。

これを調べることによって遷移状態を探索できる。

参考 ( 行列式の性質 )

行列式の行(または列)を入れ替えると符合が反転する。

例えば、次の行列式の行を入れ替えてみよう。



すると、

参考 ( テンソル、テンソル積 )

(1) テンソルは、行列の一般化である。

(2) テンソル積は、内積の一般化である。

(1)について。

ベクトル v、行列 A、テンソル T は次のように表せる。



テンソル T は数字が直方体の形に並ぶ列である。

ゆえに、行列のように式として表すことはできないので、上では 「???」 とした。

むろん、さらに高階のテンソル Ti1、・・・、ip を考えることもできる。

(2)について。

=v+v+v とおく。

=w+w+w とおく。

このとき、内積は、



また、テンソル積は、



つまり、この場合、テンソル積の対角成分は内積に相当する。

補足

ただし、上で述べているテンソルは初等的である。

実際には、さらに一般化(あるいは抽象化)される。

参考 ( 2階テンソル )

2階テンソル T=(Tij) は 『 行列 』 である。( この「2階」は、数字が2次元的に並ぶことを意味する )

ただし、行列そのものではなくて、行列がもつ2つの機能に注目した概念である。

実際、行列には次の2つの機能がある。

(1) ベクトルをベクトルに変換する。

(2) 2つのベクトルをスカラーに変換する。



実際、



連続体では 『 変形 』 を考える。

変形は、1つの点に注目するだけでは記述できない。

実際には、3つの点に注目する必要がある。

つまり、これは2つのベクトルの変換を考えるということである。



ゆえに、連続体力学では2階テンソルが有用である。

参考 ( 表現論 )

A=(aij)を2次正方行列とする。

いま、次のように分解できる。



上式右辺第1項の行列はトレース 0 である。

つまり、上式は A を 『 トレース0の部分 』 と 『 トレース部分 』 に分解したものである。

いま、行列 A の独立成分は4個である。

また、行列 B の独立成分は3個である。

また、行列 (trA)I の独立成分は1である。

つまり、2×2=3+1 である。

つまり、2×2表現が、次元の低い表現 3 と 1 の和で表された。

このように、ある表現が次元の低い表現に分解されるとき、その表現を 『 可約表現 』 という。

また、それより小さな表現に分解できないとき、その表現を 『 既約表現 』 という。

ある群について調べるとき、その群のすべての表現が分かれば、その群をよく理解できたことになる。

そのために既約表現を探す。

参考 ( 基底変換公式 )

ベクトル空間に2種類の基底 {e、e} と {e’、e’} があるとする。

いま、e を {e’、e’} で表すことができる。

また、e を {e’、e’} で表すことができる。

つまり、



上式は次のように表せる。



これを 『 基底変換公式 』 という。

また、この A を 『 {e、e}から{e’、e’}への基底変換行列 』 という。

「(*)の係数」 と 「 基底変換行列の成分 」 が転置の関係になっていることに注意。

参考 ( 成分変換公式 )

ベクトル空間に2種類の基底 {e、e} と {e’、e’} があるとする。

A を{e、e}から{e’、e’}への基底変換行列とする。

v をベクトルとする。

いま、次のように表せる。



また、次のように計算できる。(※基底変換公式)



また、



(*1)と(*2)を比較すると、



両辺に左から A−1 を掛けると、



むろん、次のように表すこともできる。



これを 『 成分変換公式 』 という。

参考 ( 「基底変換公式」と「成分変換公式」のまとめと注意 )

上では 『 基底変換公式 』 と 『 成分変換公式 』 を導いた。

ただし、本によっては表記が逆になっている場合がある。

つまり、x と x’の記号のみを入れ替えて次のように表す本も多い。



もしかしたら、

「 変換を(x’、y’)→(x、y)とするのは不自然な感じがする。(x、y)→(x’、y’)の方が自然でしょう 」

・・・と考える人がいるかもしれない。

しかし、そうではない。

いずれの表記も自然である。

実際、数学や物理では、いま注目している座標系の背後にパラメータを見出すことも多いからである。

例えば、非常に有名な変換として極座標変換がある。

極座標変換は次のように表記できる。



これは(x、y)を(r、θ)で表している。

つまり、x=x(r、θ)である。

つまり、(r、θ)→(x、y)の変換である。

参考 ( 曲がった変換の基底 )

上では2種類の基底が与えられている場合について、その関係を議論した。

ただし、これは線形変換の場合である。

線形変換とは、既に紹介したように、次のような変換である。





これを図示すると、例えば、



一方、次のような変換はどうすればよいだろう?



このように曲がった変換に対しても 『 基底変換公式 』 や 『 成分変換公式 』 を議論できるだろうか?

これは可能である。

まず、曲がった変換を次のように表す。



これの基底として {∂x/∂u、∂x/∂u } を採用できる。

図示すると、

例えば、極座標変換に対して考えてみよう。

いま、



よって、





つまり、基底の向きは位置によって異なる。

ただし、曲がった変換は局所的には線形変換と見なせる。

参考 ( 変換行列の逆行列 )

x’=x’(x)を(曲がった場合も含む)座標変換とする。

このとき、



(1)の証明

x’=x’(x)の(成分毎の)微小変位は、



ここで、x 以外の座標値を一定に保って x を Δx だけ動かしてみよう。

すると、上式により、新座標では各 x’ 方向に(∂x’/∂x)Δx だけ動く。

これは次を意味する。



成分変換(*1)と基底変換(*2)を比較すると、変換が逆になっていることが分かる。

(2)の証明

合成関数の微分より、



つまり、



よって、(1)から(2)を得る。

参考 ( 商ベクトル空間の次元 )

V をベクトル空間とする。

W を V の部分空間とする。

V/W を商ベクトル空間とする。

このとき、dim(V/W)=dimV−dimW である。

証明

あるレストランがあります。

このレストランに入ると、肉と野菜がランダムで皿に載せられます。

また、このレストランには次のようなルールがあります。

(1) 肉と野菜を食べるときは、必ず対で食べる。

(2) 肉と野菜を追加するときは、必ず対で追加する。

つまり、肉を2つ食べるときは、野菜も2つ食べなければなりません。

また、肉を3つ追加してもらうときには、野菜も3つ追加されます。

かなり健康を意識したレストランです。

店長はよい人であるに違いありません。

さて、あなたがこのレストランに入ると、客がグループに分かれていることに気付くでしょう。

例えば、あなたの皿に(肉、野菜)=(3、4)が載っているとします。

このとき、あなたの皿を(肉、野菜)=(2、0)にすることは可能でしょうか?

できません。

(2、0) はあなたの仲間ではありません。

あんたはの仲間は、(1、2)、(2、3)、(3、4)、・・・です。

では、(2、0)の仲間は?

この人の仲間は、(2、0)、(3、1)、(4、2)、・・・です。

ところで、これらのグループはどのように区別すればよいでしょう?

例えば、(2、3)、(3、1)、(5、2) が、異なるグループであることを 『 決定 』 する方法は?

簡単な方法があります。

例えば、野菜の数 3 に揃えてしまえばよいのです。

すると、(2、3)、(5、3)、(6、3) です。

明らかに、これらは別のグループであると分かります。

逆に、同じ値になれば、元の人たちは同じグループであると分かります。

結局、野菜1つだけに注目すれば、グループを決定できるのです。

よって、dim(V/W)=1 です。

一方、(肉、野菜)全体の次元は 2 です。

実際、これは肉の数が決まっても、野菜の数が分かりません。

また、肉と野菜を対で増減する操作の次元は 1 です。

実際、肉が1つ増加すれば、野菜も増加すると分かります。

以上により、dim(V/W)=1=2−1=dimV−dimW です。

ここでは、肉と野菜について考えました。

余裕のある人は、(肉、野菜、果物)で何ができるか考えてみるとよいかもしれません。