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参考 ( 位相空間と位相幾何 )

最近、位相空間について興味があって勉強をしています。

ところで、位相について 『 ドーナツとコーヒーカップ 』 の話は有名ですよね。

つまり、位相幾何(トポロジー)の世界ではドーナツとコーヒーカップは同一視できるという話です。

しかし、これが位相の話とどのようにつながるのか分かりません。

一応、「 開集合の公理 」 や 「 距離の公理 」 については知っているのですが・・・。

その知識を合わせてもつながりが視えてきません。

もしかして、かなり理論的に深いところにあるのでしょうか・・・?

いえ、深くはありませんよ。

ドーナツとカップの話は 「 図形の究極的な性質は連続か不連続か 」 を意味します。

ゆえに、穴の数が1つしかないドーナツとカップは同一視できる。

この連続と不連続は、定義域と終域の開集合の関係によって記述できます。

このことは位相空間論の 『 連続写像 』 という項目で学ぶことができます。

ちなみに、これは微分積分学で知られているεδ論法を位相空間に適用したものです。

参考 ( 微分と積分は交換してよいのか? )

物理の教科書で、次のような計算をしている本がありました。



つまり、「 ラプラス演算子 ∇ 」 と 「 体積分∫ 」 を入れ替えています。

しかし、このような計算をしてよいのでしょうか?

領域 V が x=a を含まない場合、上記の計算は適切です。

なぜなら、この場合は積分領域 V において被積分関数が発散しないからです。

領域 V が x=a を含む場合、解析学の立場で、上記の計算は不適切です。

なぜなら、この場合は積分領域 V において被積分関数が発散するからです。

ただし、ほぼ同等の計算は成り立ちます。

その計算では 『 最大値・最小値の定理 』 や 『 極限 』 を応用します。

その計算について簡単に説明します。

問題は、関数が x=a で発散することにあります。

そこで、点 x=a のε近傍をとり、この部分の体積分を取り出します。

有界閉集合上で連続関数は最大値・最小値をもちます。(※最大値・最小値の定理)

ここで、極限 ε→0 を考えることで 『 挟み撃ちの原理 』 を適用できます。

感覚的には発散する点を 「 握り潰す 」 感じでしょうか。

ちなみに、この議論は力学と電磁気学の 『 ポアソン方程式 』 に関連して重要です。

参考 ( スカラー場が(0、0)テンソル場なのにベクトル場は・・・? )

いま、テンソル場を勉強しています。

本によると、「 スカラー場は(0、0)テンソル 」 で 「 ベクトル場は(0、1)テンソル 」 です。

しかし、ベクトル場 v は2つのスカラー場 v と v で v=(v、v)と表せます。

つまり、ベクトル場はスカラー場で構成されています。

それなのに、なぜベクトル場は(0、0)テンソルにならないのでしょう?

それは基底ベクトルを忘れていることが原因であると思われます。

=(v、v)で表示すると忘れてしまうかもしれません。

実際には、v=v+v です。

スカラー場の値は 「 スカラー 」 であり、ベクトル場の値は 「 ベクトル 」 です。

言い換えると、スカラーは 「 点 」 であり、ベクトルは 「 2点の位置関係 」 です。

つまり、あなたの疑問を言い換えると、

「 ベクトルは2点の位置関係だ。点には向きがないから、2点から成るベクトルは向きをもたないはずだ 」

・・・ということになります。

これは不適切であることが分かります。