精密化(集合演算)

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参考

第1章では集合演算は 「 明らかである 」 として証明を省略した。

このページでは、命題論理と述語論理を用いて、これを証明しよう。

Z9 ( 集合の演算 )

集合 A、B、C について、次が成り立つ。



(1)、(2)を交換則、(3)、(4)を結合則、(5)、(6)を分配則という。

(8)、(9)を ド・モルガンの法則 という。

(1)の証明

Z5より、

補足

ちなみに、上の証明の式を次のように書いても意味は同じである。

(2)の証明

(1)と同様である。

(3)の証明

Z5より、

(4)の証明

(3)と同様である。

(5)の証明

Z5より、

(6)の証明

(5)と同様である。

(7)の証明

Z5より、

(8)の証明

Z5より、

(9)の証明

(8)と同様である。

参考

例えば、上の定理(1)の証明を第1章に書いても意味はない。

なぜなら、第1章において 『∧』 は 「 かつ 」 と素朴に定義しただけで、

A∧B と B∧A の区別を付けていないからである。

つまり、第1章では A∧B≡B∧A を当然のこととして認めているのである。

一方、今回は真理値を割り当てることで ∧ を定義した。

真理値表を作成すると、A∧B≡B∧A が成り立つことが分かる。

だから、今回は(1)の証明が意味をもつのである。