微分積分学と位相空間論

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参考

このページでは微分積分学と位相空間論について、関連の強い事柄について簡単に紹介する。

詳しいことは本編で扱うので、このページは読まなくてもよい。

参考 ( 最大値・最小値の定理 )

K を の有界閉集合とする。

K≠φとする。

f:K→ を連続関数とする。

このとき、f は K 上で最大値・最小値をもつ。

これは微分積分学で有名な 『 最大値・最小値の定理 』 である。

ただし、多変数関数に関する最大値・最小値の定理である。

実は、これをしっかりと証明することは意外にも色々な準備が必要である。

とくに重要なことは、定理の中に書かれている 『 有界閉集合 』 という部分である。

これを同値な条件に言い換えることで、最大値・最小値の定理を証明できるようになる。

その同値な条件とは、次のようなものである。

参考 ( ユークリッド空間におけるコンパクト性に対する同値条件 )

をユークリッド空間とする。

A を の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A はコンパクトである。

(2) A は点列コンパクトである。

(3) A は有界閉集合である。

証明は本編で扱う。

参考 ( 距離空間におけるコンパクト性に対する同値条件 )

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A はコンパクトである。

(2) A は点列コンパクトである。

(3) A は全有界かつ完備である。

(4) X の任意の無限部分集合は集積点をもつ。

証明は本編で扱う。

参考

上の3つの定理を理解することは、距離空間論・微分積分学の1つの到達点である。

参考

(X、d)を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、A が点列コンパクトならば、A は有界閉集合である。

しかし、逆は成り立たない。