部分空間、相対位相

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A24 ( 相対位相による部分空間の構成 )

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

次のように定義する。



( つまり、 は A の部分集合系である )

このとき、 は A の位相である。

を 『 A の相対位相 』 という。

(A、) を 『 X の部分空間 』 という。

証明

の定義により、A=X∩A∈、φ=φ∩A∈である。

よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

O’ ( i=1、・・・、n)とおく。

いま、ある O が存在して、O’=O∩A である。

よって、



ここで、開集合の公理より、



よって、 の定め方に注意すると、



以上により、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

O’λ (λ∈J)とおく。

いま、ある Oλ が存在して、O’λ=Oλ∩A である。

よって、



ここで、開集合の公理より、



よって、 の定め方に注意すると、



以上により、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)〜(*3)より、 は A の位相である。(※開集合の公理)

A25

(X、)を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

次のように定義する。



このとき、(1)は A の閉集合全体、(2)は x∈A の近傍系である。

証明

簡単に証明できるので省略する。(※A24)

参考

相対位相の具体例を紹介する。

まず、2次元ユークリッド空間 の位相について考える。

における開集合とは、境界を全く含まない集合を意味する。(詳しいことは距離空間を参照)

むろん、 の位相とは、そのような開集合全体である。

例えば、下図のようなものは、 の開集合である。



同様のことは についても言える。

例えば、開区間は の開集合である。

また、B={ (x、y、z)∈:x+y+z<1 } は の開集合である。

では、曲面上の開集合は?

おそらく、多くの人は直観的に下図のようなものを想像するであろう。



そして、それは正しい。

しかし、これを数学的に記述するにはどうすればよいか?

ここで、部分空間や相対位相という概念が有用である。

いま、S⊂ を曲面とする。

このとき、S の位相 A を次のように定義できる。

(*) ある開集合 O⊂ が存在して、A=S∩O と表せる。

この様子を図示すると、