部分集合系と部分集合族

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参考

このページでは部分集合系と部分集合族の区別を説明する。

ただし、この話は少し細かいので、初学者は読まなくてもよい。

定義 ( 集合系 )

集合のみを元とする集合を 『 集合系 』 という。

定義 ( 集合族 )

J を集合とする。

任意のλ∈J に対し、ある集合 Aλが対応しているとする。

この対応規則を 『 J を添え字とする集合族 』 といい、(Aλλ∈J と表す。

これは 『 任意のλ∈J に対し、ある集合 Aλを対応させた写像 』 と見なすこともできる。

参考 ( 集合系と集合族は何が違うのか?)

集合系は集合である。

集合族は写像である。

を集合系とする。

(Aλλ∈J を集合族とする。

むろん、集合系 は集合である。

一方、集合族 (Aλλ∈J は集合ではない。

定義でも述べたように、集合族 (Aλλ∈J は対応規則である。

ただし、(Aλλ∈J の各 Aλ を集めて、集合系 { Aλ|λ∈J } を考えることはできる。

参考

集合系と集合族の違いが現れる場面を考えてみよう。

A、B、C を集合とする。

次のように定める。

(*) J={1、2、3、4}、M=A、M=B、M=C、M=C

このとき、『(Mλλ∈J の直積 』 は A×B×C×C である。

では、集合族(Mλλ∈J の代わりに、集合系 { Mλ|λ∈J } で直積を定義できるだろうか?

ここで、={ Mλ|λ∈J }とおく。

いま、={A、B、C、C}={A、B、C}である。

すると、困ったことになる。

もし、『 の直積 』 というものを考えた場合、これはどちらを意味するのだろうか?

A×B×C×C を意味するのだろうか?

A×B×C を意味するのだろうか?

区別が付かなくなってしまう。

なので、直積を定義するときには集合族を用いるのである。