コンパクト性(ハウスドルフ空間は限定的にT3空間を演じる)

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A33 ( コンパクト性は閉集合に遺伝する )

(X、)をコンパクト空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

A が閉集合 ⇒ A はコンパクト

証明

(Oλλ∈J を A の開被覆とする。

いま、



よって、



A は閉集合であるから、A は開集合である。

よって、(Oλλ∈J と A は X の開被覆である。

いま、X はコンパクトである。

よって、(Oλλ∈J と A から有限個を選んで X を被覆できる。

これら有限個の集合と A の共通部分は A の有限開被覆である。

よって、A はコンパクトである。

A34 ( ハウスドルフ空間は限定的に T を演じる〜その1 )

(X、)をハウスドルフ空間とする。

A を X のコンパクト集合とする。

x∈X は A に属さないとする。

このとき、A と x は開集合によって分離される。

証明

x∈X とおく。

x は A に属さないとする。

a∈A とおく。

X はハウスドルフ空間であるから、



よって、次の集合 は A の開被覆である。



いま、A はコンパクトである。

よって、O、・・・、O が存在して、A⊂O∪・・・∪O となる。

ここで、U=O∪・・・∪O とおく。

いま、∪・・・∪ である。(※A10)

また、各O に属するから、x は に属さない。

ここで、V=X− とおく。

いま、U と V は互いに交わらない開集合である。

しかも、A⊂U かつ x∈V である。

補足

A34 では 「 A を X のコンパクト集合とする 」 を仮定した。

これにより、A を 『 有限個 』 の集合で被覆することができる。

こうしなければ、A34 の証明において A10 を使用できない。

A35 ( ハウスドルフ空間は限定的に T を演じる〜その2 )

(X、)をハウスドルフ空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

A がコンパクト ⇒ A は閉集合

証明

x∈A とおく。

A34より、



つまり、



よって、



よって、A は開集合である。(※開集合の公理)

よって、A は閉集合である。

A36

コンパクト空間からハウスドルフ空間への全単射連続写像 f は同相写像である。

補足

この定理はここまでの議論の集大成である。

証明

逆写像 f−1 が連続であることを示せばよい。

そのためには、f が閉写像(または開写像)であることを示せばよい。

A をコンパクト空間の閉集合とする。

いま、A はコンパクトである。(※A33)

f は連続写像であるから、f(A)はコンパクトである。(※A32)

よって、f(A)は閉集合である。(※A35)

以上により、f は閉写像である。

参考 ( ハウスドルフ空間は限定的に T を演じる )

ハウスドルフ空間は、2つの点を、開集合によって分離する。(※定義:分離公理)

空間は、点と閉集合を、開集合によって分離する。(※定義:分離公理)

むろん、ハウスドルフ空間は T ではない。

ただし、ハウスドルフ空間は限定的に T を演じる。

実際、ハウスドルフ空間において、点とコンパクト集合を分離できる。(※A34)

また、ハウスドルフ空間において、コンパクト集合は閉集合である。(※A35)